Ф 1 5: Фора 1 (+1,5) — что значит Ф1(+1,5) в ставках

Для вас: посмотрите, сможете ли вы выполнить шаги для создания этой инверсии!

Обратные общие функции

До сих пор это было легко, потому что мы знаем, что обратная функция умножения — это деление, а обратная функция сложения — вычитание, но как насчет других функций?

Вот список, который вам поможет:

(Примечание: вы можете прочитать больше об арксинусе, косинусе и тангенсе. )

Осторожно!

Вы видели «Осторожно!» колонка выше? Это потому, что некоторые инверсии работают с только с определенными значениями .

Пример: возведение в квадрат и квадратный корень

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , а затем делаем обратное, получается следующее:

Квадрат:(−2) ² = 4

Обратное (квадратный корень): √(4) = 2

Но мы не вернули исходное значение! Мы получили 2 вместо −2 . Наша вина, что мы не были осторожны!

Таким образом, функция квадрата (в ее нынешнем виде) не имеет обратной

Но мы можем это исправить!

Ограничить домен (значения, которые могут быть переданы в функцию).

Пример: (продолжение)

Только убедитесь, что мы не используем отрицательные числа.

Другими словами, ограничьте его до x ≥ 0 , и тогда мы получим обратное.

Итак, у нас есть такая ситуация:

• x ² имеет ли , а не обратную
• но {х ² | x ≥ 0 } (что говорит «x в квадрате, так что x больше или равен нулю», используя нотацию построителя наборов) имеет ли инверсию.

Нет обратного?

Давайте графически посмотрим, что здесь происходит:

Чтобы получить обратное значение, нам нужно уникальных значений .

Только подумайте… если есть два или более x-значений для одного y-значения , как мы узнаем, какое из них выбрать при возвращении?

Представьте, что мы пришли из x ₁ к определенному значению y, куда мы вернемся? х ₁ или х ₂ ?

В этом случае у нас не может быть обратного.

Но если мы можем иметь ровно один x для каждого y, мы можем получить обратное.

Это называется «однозначным соответствием» или Биективной функцией, например

Функция должна быть «биективной», чтобы иметь обратную.

Таким образом, биективная функция подчиняется более строгим правилам, чем общая функция, что позволяет нам иметь обратную функцию.

Домен и диапазон

Так о чем все эти разговоры о «

В своей простейшей форме домен — это все значения, которые входят в функцию (а диапазон — это все значения, которые выходят).

В представленном выше виде функция , а не имеет обратную функцию, потому что некоторые значения y будут иметь более одного значения x.

Но мы могли бы ограничить домен, чтобы было уникальный x для каждого y …

… и теперь мы можем иметь обратное:

Обратите также внимание:

• Функция f(x) переходит из домена в диапазон ,
• Обратная функция f ^-1 (y) переходит из диапазона обратно в домен.

Построим их оба в виде x … так что теперь f ^-1 (x) , а не f ^-1 (y) :

f(x) и f ^-1 (x) подобны зеркальным отражениям
(перевернуто по диагонали).

Другими словами:

График f(x) и f ^-1 (x) симметричен относительно прямой y=x

Пример:

)

Сначала , мы ограничиваем домен до x ≥ 0 :

• {x ² | x ≥ 0 } «x в квадрате так, что x больше или равен нулю»
• {√x | x ≥ 0 } «квадратный корень из x такой, что x больше или равен нулю»

И вы можете видеть, что они «зеркальные изображения»
относительно диагонали y=x.

Примечание. Когда мы ограничиваем домен до x ≤ 0 (меньше или равно 0), обратное значение равно 9.0009 f ^-1 (x) = −√x :

• {x ² | х ≤ 0 }
• {−√x | х ≥ 0 }

Которые тоже обратные.

Не всегда решаемо!

Иногда невозможно найти обратную функцию.

Пример: f(x) = x/2 + sin(x)

Мы не можем вычислить обратное, потому что мы не можем найти «x»:

y = x/2 + sin(x)

г . .. ? = х

Примечания к обозначениям

Несмотря на то, что мы пишем f ^-1 (x), «-1» равно , а не степени (или степени):

Резюме

• Обратное значение f(x) равно f ^-1 (y)
• Мы можем найти обратное, обратив «блок-схему»
• Или мы можем найти обратное, используя алгебру:
  • Поставьте «y» вместо «f(x)» и
  • Найти x
• Нам может понадобиться ограничить домен , чтобы функция имела обратную

1.7 — Обратные функции

Обозначение

Обратная функция f обозначается как f ^-1 (если ваш браузер не поддерживает верхние индексы, то это выглядит как f с показателем -1) и произносится как «f inverse». Хотя обратная функция выглядит как вы возводите функцию в степень -1, это не так. Обратная функция не означает, что обратная функция.

Инверсия

Функция обычно говорит вам, что такое y, если вы знаете, что такое x. Обратная функция расскажет каким должен быть x, чтобы получить это значение y.

Функция f ^-1 является обратной f, если

• для каждого x в области f, f ^-1 [f(x)] = x и
• для каждого x в области f ^-1 , f[f ^-1 (x)] = x

Домен f — это диапазон f ^-1 , а диапазон f — это домен f ^-1 .

График обратной функции

Обратная функция отличается от функции тем, что все координаты x и координаты y были переключены. То есть, если (4,6) — точка на графике функции, то (6,4) — точка на график обратной функции.

Точки на функции идентификации (y=x) останутся на функции идентификации при переключении. Все у других точек будут изменены координаты и места перемещения.

График функции и функция, обратная ей, являются зеркальным отражением друг друга. Они отражаются о тождественная функция y=x.

Существование обратной функции

Функция говорит, что для каждого x существует ровно один y. То есть значения y могут дублироваться, но x значения не могут повторяться.

Если функция имеет обратную, которая также является функцией, то для каждого x может быть только один y.

Функция взаимно однозначного соответствия — это функция, в которой для каждого x имеется ровно один y и для каждого y, есть ровно один х. У взаимно однозначной функции есть обратная, которая также является функцией.

Существуют функции, обратные функции которых не являются. Есть также обратные для связи. По большей части мы ими пренебрегаем и имеем дело только с функциями, обратные также функционирует.

Если обратная функция также является функцией, то обратная связь должна проходить через вертикальную линию тест. Поскольку все координаты x и y меняются местами при нахождении инверсии, говоря что обратная функция должна пройти тест вертикальной линии, это то же самое, что сказать, что исходная функция должна пройти тест тест горизонтальной линии.

Если функция проходит как тест вертикальной линии (так что это в первую очередь функция), так и тест горизонтальной линии (чтобы его обратная функция была), то функция является взаимно однозначной и имеет обратная функция.

Нахождение инверсий неформально

Инверсия некоторых функций, особенно тех, где есть только одно вхождение независимая переменная, может быть решена путем отмены операций. Чтобы отменить операцию, вы должны не только изменить порядок, но и использовать обратную операцию.

Пример 1

Функция f(x) = 5x-2

1. Начать с х: х
2. Умножить на 5: 5x
3. Вычесть 2: 5x-2

Обратная f

1. Начать с х: х
2. Добавить 2: х+2
3. Разделить на 5: (х+2) / 5

Пример 2

Функция f(x) = 2(x-3)

Обратите внимание, что существует ограничение на x.

1. Начать с х: х
2. Вычесть 3: x-3
3. Квадрат: (x-3) ²
4. Умножить на 2: 2(x-3) ²
5. Вычесть 5: 2(x-3) ² -5

Обратная f

1. Начать с х: х
2. Добавить 5: х+5
3. Разделить на 2: (х+5)/2
4. Извлеките квадратный корень: ± sqrt[(x+5)/2]
5. Добавить 3: 3 ± sqrt[(x+5)/2]
6. Подожди! Эта обратная функция не является функцией, потому что для каждого x существует два значения y. Это из-за ±, который появился, когда мы взяли квадратный корень из обеих сторон. Теперь вернемся к исходной области определения x≥3. Это означает, что для инверсии диапазон равен y≥3. Поскольку у должно быть не менее 3, нам нужен положительный квадратный корень, а не отрицательный. Без ограничения на x в исходная функция, у него не было бы обратная функция: 3 + sqrt[(x+5)/2]

Пример 3

Функция f(x) = x

Уххх????

Что происходит, когда встречается более одного независимая переменная в функции? Вы не знаю, что ты сделал с х, потому что ты сделал это с двумя разные иксы, и вы не сделали то же самое с обоими из их.

Формальное нахождение инверсий

Нельзя сказать, что последний пример невозможно выполнить, но он включает в себя заполнение квадрата до получить f(x) = (x-2) ² +2, затем инвертируйте его, чтобы получить f ^-1 (x) = 2-sqrt(x-2).

Тем не менее, есть другой способ, который не так сильно зависит от неформальности и будет работать независимо от того, не вы можете точно понять, что вы сделали с ровно одним x.

1. Запуск с функцией
2. При необходимости заменить f(x) на y
3. Поменяйте местами x и y. На данный момент вы имеете дело с обратным числом
.
4. Найдите у
5. Заменить у на f ^-1 (x), если обратная функция также является функцией, в противном случае оставить как y

Пример 4

Функция f(x) = x

Важно сделать ограничение 1-1.

1. Начните с функции: f(x) = x ² / (x ² +1), x≥0
2. Заменить f(x) на y: y = x ² / (x ² +1), x≥0
3. Поменяйте местами x и y: x = y ² / (y ² +1), у ≥0
4. Найдите у:
   1. Умножить на знаменатель: x(y ² +1) = y ²
   2. Распределить: xy ² + x = y ²
   3. Переместить y в одну сторону, а все остальное в другую: xy ² -y ² = -x
   4. Коэффициент: у ² (х-1)=-х
   5. Разделить на коэффициент при y ² : y ² = -x/(x-1)
   6. Упростить правую часть: y ² = х/(1-х)
   7. Извлечение квадратного корня: y = ± sqrt[ x/(1-x) ]
   8. Поскольку y≥0, нам нужен положительный квадратный корень: y = sqrt[ x/(1-x) ]
5. Назовите это f ^-1 (x): f ^-1 (x) = sqrt[ x/(1-x) ]
   

Для этой последней функции подразумеваемый домен обратной функции равен [0,1). Это означает, что диапазон исходная функция также должна была быть [0,1). Проверьте это на своем калькуляторе, и вы увидите, что это так.

Иногда в инструкциях говорят, что если функция не является взаимно однозначной, то не найти обратную функция (потому что ее нет). Поэтому всегда проверяйте, прежде чем тратить время на поиски обратная функция. Теперь, если вы должны найти обратное, независимо от того, является ли оно работать или нет, тогда вперед.

Хороший материал!

Один на один Функции — замечательная штука.

При решении уравнений можно прибавлять одно и то же к обеим частям, вычитать одно и то же из обе стороны, умножить обе стороны на одно и то же ненулевое значение и разделить обе части на одно и то же ненулевое значение и по-прежнему получать то же решение, не беспокоясь о необходимости проверить свой ответ.

Вы также можете применить функцию «один к одному» к обеим частям уравнения, не беспокоясь о введении посторонних решений (решений, которые работают после выполнения чего-то, что раньше не работало). Это не обязательно верно для функций, которые не являются взаимно однозначными, как функция возведения в квадрат, где вы всегда должны проверять ответы после возведения в квадрат обеих частей уравнения. Например, уравнение sqrt(x) = -2 не имеет решения, но если вы возведете в квадрат обе стороны, вы получите x = 4, но это не проверяется исходной задачей. Благодаря функциям «один к одному» вы не будете внедрять никаких посторонних решений.

Вау! Говорить о мощный. Вы не оцените это сейчас, и книга не рассматривает это должным образом, пока вы не получите к главе 4 и имеют дело с логарифмическими и экспоненциальными функциями, и даже тогда они не делают как бы это ни было важно.

Хорошо, давайте попробуем. Поверьте мне на слово, что exp(x) является взаимно однозначной функцией и обратный ln(x).

ln(x) = 3

Найдите x.

ехр[ln(x)] = ехр[3]

«Подождите, мистер Джонс» — ваш ответ. Такого зверя вы еще не видели. x и находится на странице [2 ^nd ] Клавиша [ln].

Вау, больше сплоченности. Обратную функцию можно найти, взяв функцию [2 ^nd ]. Смотреть у него для прочего на калькуляторе.

Квадратный корень является обратным значением квадрата. Если вы посмотрите на три тригонометрических ключа [sin], [cos] и [tan], их обратные значения находятся с помощью клавиши [2 ^nd ].

Режим Soapbox включен.

Говорю вам — все сходится. Для тех, кто помнит реплику Ганнибала Смита в A-Team: «Мне нравится, когда складывается план».

Математика — один из самых популярных предметов. Все дополняет все еще. Я надеюсь, что вы вынесете из этого курса гораздо больше, чем просто механику математике, а понимание, понимание и понимание того, как работает система. С таким прочным фундаментом математика может быть менее напряженной и даже приятной. У вас есть перестать иметь дело с концептами как с отдельными вещами, которые не связаны друг с другом и самостоятельны.