Содержание

1ф, 15 кВА, 80 х 7 Ач ( 110804-02598 )

TRIOTM15A30 ИБП 3ф : 1ф, 15 кВА, 80 х 7 Ач ( 110804-02598 )

Загрузка данных

Все цены на сайте являются актуальными на текущий день

Номенклатурный номер: 110804-02598 Скопировано в буфер обмена

Описание

Задать вопрос

Предназначен для резервирования основного источника питания. Временно обеспечивает бесперебойную подачу электропитания от аккамуляторных батарей. Размещается в офисах, домах или иных объектах. Малогабаритные ИБП как правило устанавливают вблизи с подключенным оборудованием, например с системным блоком компьютера. Модели с возможностью крепления в 19″ рейку обычно размещают в телекоммуникационных стойках и шкафах.

ИБП собран в устройство в пластиковом корпусе, с дисплеем/индикаторами статуса и управления. На корпусе размещены разъемы подключения основной подачи электропитания и выходы для подключаемого оборудования.

Совместим с электрооборудованием по расчету номинального и максимального потребления тока, количества подключаемых устройств и типов соединения.


Центральный склад: 142001, г.Домодедово, ул.Промышленная д.13, Режим работы: Понедельник-Пятница: с 8:00 до 19:00 (суббота, воскресенье выходной)

Склад ЖБИ: 115088, г.Москва, ул. Южнопортовая д.7А, Режим работы: Понедельник-Пятница: с 8:00 до 17:00 (суббота, воскресенье выходной)

Срок поставки: Срок поставки между складами с момента подтверждения оплаты может варьироваться от 2 до 3 дней.


Прогнозируемый срок поставки не учитывает сезонность, загруженность производства и заказываемое количество. Данный срок носит информационный характер и является средним значением выполнения заказов на данное изделие за последние 12 месяцев.

Важно: Точный срок поставки согласовывается в спецификации.


Региональный склад: 630110, г.Новосибирск, ул. Богдана Хмельницкого, 93 ст.6, Режим работы: Понедельник-Пятница: с 8:00 до 17:00 (суббота, воскресенье выходной). Тел.: +7 (383) 312-04-34


Региональный склад: 620034, г.Екатеринбург, ул. Елизаветинское шоссе, 39, Режим работы: Понедельник-Пятница: с 8:00 до 17:00 (суббота, воскресенье выходной). Тел.: +7 (343) 302-54-34


«Лучше быть первым в другой серии, чем десятым в «Ф-1». Чемпион «Формулы-Е» Феликс да Кошта – о прошедшем сезоне и перспективах Квята и «Хонды» в «электричке»

Антониу Феликса да Кошту можно назвать одним из самых разносторонних пилотов мира. Начав с младших «формул», он попал в систему «Ред Булла», но не найдя места в «Ф-1», отправился покорять сразу две серии — ДТМ и «Формулу-Е». Но и этого португальцу оказалось мало. Ежегодно он принимал участие в самых разнообразных заездах — от гонок на выносливость до престижного Гран-при Макао, в котором победил в 2016 году. Но пик славы Феликса да Кошты пришелся на 2020-й, когда он стал чемпионом «Формулы-Е» и серебряным призером «24-х часов Ле-Мана».

— Пандемия коронавируса весной привела к карантину, который прервал и сезон «Формулы—Е». Что ощущали, когда все это случилось, и как вы вместе с командой справились в такой непростой ситуации и вернулись в отличной форме?

— Эта ситуация для всех в мире была новой. Мы были в хорошей форме, только что выиграли гонку в Марракеше, я выстраивал отношения в новой команде, как раз все должно было сойтись в единый механизм. И после победы вот так прерваться на карантин во время сезона было странно. Но я был в лучшей позиции в сравнении со своими соперниками, поскольку только что выиграл гонку и находился в правильном состоянии духа и с достаточным количеством мотивации для движения дальше. Пауза в три месяца была странной, я использовал это время для восстановления и возвращения в форму. Мы много всего делали с командой, поэтому после возобновления сезона нам удалось выиграть два заезда подряд.

https://www.instagram.com/p/CDhcp0BHAyH/

— Вы, как и многие другие гонщики, участвовали в различных соревнованиях по симрэйсингу — в том числе и чемпионате, созданном «Формулой—Е». Что думаете о гонках в виртуальной реальности в принципе и понравилось ли вам этим заниматься?

— Да, тогда создалось большое киберспортивное движение. Я был одним из тех, кто очень много этим занимался, — организовывал гонки и отвечал за коммуникацию со всеми пилотами. Мне нравилось это, было очень весело. У всех нас настрой на борьбу. Не имеет значения, реальность это или компьютерная игра. Мы собирали гонщиков со всего мира из ралли, «Ф-1», «Ф-Е», заездов на выносливость — откуда угодно! Конечно, это заставляет наш мозг находиться в состоянии желания борьбы и побед, поэтому было здорово.

В какой-то степени это было новым для всех нас, и мы видели инциденты, когда некоторые гонщики сказали или сделали что-то не то и были неожиданно пойманы на этом. Возможно, это был шаг назад, потому что мы стали относиться к симрэйсингу слишком серьезно, хотя все это было организовано только ради чистого веселья.

— Говоря о прошлом межсезонье — почему вы перешли из БМВ в «Течиту»? Насколько сильно ваша нынешняя команда отличается от «Агури», на базе которой она сейчас основана? Всегда ли видели потенциал в вашем первом коллективе?

— Да, я ездил в «Агури» два года и потом перешел в «Андретти» из-за связи с БМВ и их будущего прихода в серию — тогда я был их заводским пилотом. Хотел остаться в «Агури» и на третий сезон, но этого не позволял мой контракт. Честно говоря, в «Андретти» было непросто. С приходом БМВ стало лучше, но «Течита» всегда казалась выше всех по уровню, и когда у меня появился шанс вернуться, я решил им воспользоваться.

https://www.instagram.com/p/BI7fJjbAY8s/

— И стали чемпионом. Больше не жалеете, что так и не смогли дебютировать в «Формуле-1» после нескольких лет работы тест-пилотом в «Ред Булле»?

— Непопадание в «Ф-1» было чем-то, что я не мог контролировать. Моя карьера только начиналась, когда это все случилось. Очевидно, в то время я не мог видеть всю картину, но, оглядываясь назад, понимаю, что нахожусь в лучшей ситуации, в которой мог быть. Быть в «Формуле-1» в течение 6-7 лет, чтобы финишировать в десятке или где-то неподалеку — это не то, в чем я заинтересован. Быть в «Формуле-Е» и бороться за титулы гораздо приятнее.

— Если Даниил Квят потеряет место в «королевских гонках», могла бы «электричка» подойти его стилю вождения и были бы вы рады его видеть здесь?

— Когда я был в БМВ и мы искали напарника, он был одним из кандидатов, но тогда у него не было интереса к «Формуле-Е». Мы все еще хорошие друзья с Даниилом, однако давно не общались, поэтому не знаю, что у него на уме. Но уверен, он очень быстрый гонщик и будет хорошим активом в любой серии, куда его могут взять. Безусловно, было бы весело соревноваться с ним.

— Совсем недавно о своем уходе из «Ф-1» объявила «Хонда», связав его с экологической ситуацией в мире. Ожидаете японский концерн в «Формуле-Е»?

— Куда бы автопроизводители не пошли — это будет либо «электрическое» направление, либо что-то связанное с экологичностью. Это непредотвратимо. Конечно, это не значит, что они обязательно присоединяться к нашей гоночной серии, но все возможно.

https://www.instagram.com/p/BIcZiNXg0LS/

— Завершим тему «королевских гонок». В этом году, впервые с 1996-го, Португалия примет у себя Гран-при «Формулы-1». Чего ожидаете от уик-энда в Портимао?

— Думаю, будет круто. Португальцы любят автоспорт, так что принимать у нас самую большую серию — очень здорово. Надеюсь, сюда приедет и «Формула-Е».

— Вернемся к «электричке». Одной из фишек вашей серии является «Фанбуст» — система, которая с помощью зрительского голосования дает пилотам дополнительные 5 киловатт мощности? Что вы о ней думаете и хорошо ли это для спорта?

— Мне кажется, это круто. «Формула-Е» — об инновациях и создании чего-то нового. У нас есть «Фанбуст» и «режим атаки» — вещи, которых нет в других сериях. Если это помогает фанатам сблизиться со спортом и гонщиками, то это классно. У меня всегда много поддержки в «Фанбусте» и, как мне кажется, болельщики тоже любят его, так что все хорошо.

— Вы вообще много взаимодействуете с фанатами, будь то стриминг или общение в комментариях.

— Да, я люблю сближаться с ними, и мне кажется, что «Ф-Е» — отличная платформа для этого. Сейчас, во время пандемии, не встретишь зрителей на трибунах, поэтому такой способ коммуникации становится для них самым «близким».

Было грустно приехать в Берлин и бороться за титул без болельщиков. Та же ситуация с марафоном «24 часа Ле-Мана». Надеюсь, это все быстро закончится, и мы как можно быстрее вернемся к нормальному режиму.

https://www.instagram.com/p/CFXJIrtHrzh/

— Было ли правильным решением провести «24 часа Ле-Мана» без зрителей?

— Конечно. Миру нужно двигаться вперед, нам надо продолжать выполнять наши задачи. Карантин — не решение. Много механиков, инженеров и других профессионалов пострадают из-за того, что мы не будем гоняться. Если мы можем снабжать людей хорошим шоу, которое они посмотрят дома, это принесет радость всем: нам, механикам, инженерам, командам, зрителям. Если гонки без болельщиков — цена, которую мы платим за чье-то счастье, то это лучше, чем ничего.

— Расскажите о самом запоминающемся, смешном или забавном моменте из прошедшего сезона.

— Было всего понемножку. Во время моего первого этапа с «Течитой» мы показали себя нереально быстрыми в тренировке, но в квалификации была проблема с тормозами — мне пришлось стартовать последним, а БМВ — команда, из которой я только что перешел, — начинала гонку с поула. После этого мои фанаты и друзья задавались вопросом, правильным ли было решение о смене коллектива. Но я никогда не сомневался. Так что этот момент был одним из самых сумасшедших за сезон. А лучшим я бы назвал победу в Марракеше. Мы были на поуле, и нам пришлось хорошенько попотеть, чтобы вырвать победу в упорной борьбе с БМВ.

АТОЛ 1Ф | Киасофт Красноярск

Видео об Атол 1Ф

Соответствует 54-ФЗ

АТОЛ 1Ф включена в реестр онлайн-ККТ приказом №ЕД-7-20/845@ от 26.12.2018. Касса полностью готова к работе с ЕГАИС и соответствует требованиям 54-ФЗ.

Какие задачи решает

Устройство позволяет осуществлять расчеты с покупателями на территории РФ в соответствии с действующим законодательством (ЕГАИС, 54-ФЗ новый порядок применения).

Сфера применения

Решение разработано специально для малого и сверх малого бизнеса с низким потоком покупателей, где важна экономия бюджета.

Бюджетное решение

Онлайн-касса АТОЛ 1Ф – идеальный вариант для самых экономных. У запасных частей низкая стоимость, ФН вы можете заменить самостоятельно, да и розничная цена приятно удивит.

Экономит место

АТОЛ 1Ф не займет много места на прикассовой зоне или рабочем столе. А если вы не можете выделить отдельное место, просто пробейте чек и спрячьте кассу в ящик стола. Габариты позволят – размер кассы всего 85x115x56 мм.

АТОЛ 1Ф: 1 порт microUSB для всех задач: подключение к компьютеру (или другому управляющему устройству) передача данных в ОФД

Технические характеристики:

Способ печатиТермопечать
Качество печати, dpi203
АвтоотрезНет
Ширина чека58 мм
Скорость печати мм/сдо 50 мм/с
Количество символов в строкеот 24 до 42 (при бумаге 58 мм)
Диаметр рулона, мм47
Подключение денежного ящиканет
Интерфейс подключениямикро USB
Питание9В от блока питания
Wi-Fi, Enternet, Bluetoothнет
Габариты, мм85х115х56
Вес нетто, кг0,2
Совместимость с ОСWindows, Linux, Android или iOS
ЦветЧерный
Ресург ПГ, км (заявленный)50
Программное обеспечениеРаботает с ДККТ версии 10 и выше

Настройка связи с ОФД Инитпро для АГАТ 1Ф

Скачайте файл в формате .pdf или следуйте инструкции ниже. Инструкция по подключению.pdf
419кбскачатьпосмотреть

Настройка связи выполняется на кассовом аппарате.

  1. Выберите с помощью клавиши «ОПЦИЯ» пункт меню «НАСТРОЙКА СВЯЗИ».
  2. Нажмите «ИТОГ» и перейдите к выбору сети Wi-fi.
  • Если нажать клавишу «ОПЦИЯ», то начнется автоматический поиск сети Wi-fi. Этой же клавишей можно выполнить перебор найденных сетей. Выберите нужную сеть и нажмите «ИТОГ».
  • Если нажать клавишу «ИТОГ», то необходимо ввести имя роутера и также нажать клавишу «ИТОГ» для завершения.
Примечание: при вводе названия сети и пароля может возникнуть необходимость ввода строчных букв. Переключение регистра — клавишей [ТОВАР]. Ввод прописных и строчных букв отображается на дисплее.
  • В обоих случаях вам необходимо ввести пароль для подключения к сети. Введите пароль и нажмите клавишу «ИТОГ».
  • Введите IP адрес ООО УЦ «ИнитПро» kkt.ofd-initpro.ru. Нажмите клавишу «ИТОГ».
  • Введите порт для подключения 9999 и нажмите клавишу «ИТОГ»
  • Введите таймаут равный в интервале от 0 до 3600 секунд и нажмите «ИТОГ».
  • Далее следует ввести период опроса (в секундах) ККТ фискального накопителя на предмет наличия данных для передачи ОФД. Период опроса ФН может лежать в интервале от 0 (непрерывный опрос) до 60 секунд.

    • При регистрации/перерегистрации вам также необходимо внести некоторые данные об ОФД:

    1. Для начала регистрации одновременно нажмите кнопки «ИТОГ» и , а затем последовательно отпустите сначала клавишу «ИТОГ», а затем .
    2. Введите пароль Администратора и нажмите клавишу «ИТОГ».
    3. После появления на дисплее слова «Регистрация» снова нажмите «ИТОГ».
    4. Введите данные, запрашиваемые ККТ. Начните с ИНН вашей организации и нажмите «ИТОГ». Дальнейшие данные заполняются аналогично.
    5. Последовательно дойдите до шага «ОФД: Наименование».
    6. Введите наименование ОФД Инитпро. Нажмите «ИТОГ».
    7. На следующем шаге введите ИНН 5902034504. . Нажмите «ИТОГ».
    8. Адрес сайта ФНС менять не нужно, нажмите «ИТОГ».
    9. На следующем шаге введите [email protected].
    10. ККТ распечатает данные для проверки. Еще раз убедитесь, что все данные верны.
    11. Если все верно, нажмите клавишу «Х». ККТ распечатает отчет о регистрации.

    ГСК Луч-1 Ф. Лыткина 13/4

    Департамент управления муниципальной собственностью администрации Города Томска сообщает о приеме обращений в связи с принятием заявлений о предоставлении земельного участка, поданных в соответствии со статьями 8, 9 Закона Томской области от 11.11.2015 № 169-ОЗ «О порядке бесплатного предоставления в собственность отдельным категориям граждан земельных участков для целей, не связанных со строительством»:

        1. Адрес земельного участка – Томская область, г. Томск,ул. Федора Лыткина, 13/4.
        2. Площадь земельного участка – 1736 кв.м.
        3. Кадастровый номер земельного участка – 70:21:0200031:3910.
    4. Вид разрешенного использования в соответствии с кадастровым паспортом земельного участка – гаражи индивидуальных легковых автомобилей, погребной комплекс.
    5. Кадастровые (инвентарные) номера и адрес объектов недвижимости, расположенных на земельном участке – г. Томск, ул. Федора Лыткина, 13 строение 4 (инвентарный номер 069:401:001:005938030).
    6. Перечень лиц, обратившихся в департамент управления муниципальной собственности администрации Города Томска по вопросу предоставления земельного участка: Р.И. Романов, В.А. Гынгазов, С.В. Черемисина, М.Г. Носова, Г.Н. Колпаков, О.П. Полунина, И.В. Олешко, Н.А. Петров, В.А. Овтина, Е.Я. Головань, Г.В. Губина, Е.М. Танчев, В.В. Мелешко, В.В. Ларионов, А.Н. Плотникова, В.А. Давыдов, Г.Г. Мальцева, А.П. Лебеденко, С.А. Мерзляков, И.А. Васильев, К.И. Чуйкова, М.В. Мишина, Е.И. Селезнева, А.Г. Реш, А.С. Палько, А.А. Наумова, Ю.П. Егоров, В.Н. Якубова, Е.С. Королева, С.В. Хачин, А.Н. Прокопов, В.Д. Чуйков, В.И. Коптяев, А.И. Потекаев, О.В. Склеймова, Ю.В. Чудинова, И.А. Бобровникова, В.Н. Давыдов, С.А. Колесник, Л.В. Воробьева, Н.В. Степанова, А.О. Соколовский.
    7. Настоящим департамент управления муниципальной собственностью администрации Города Томска разъясняет заинтересованным лицам возможность обращения в департамент управления муниципальной собственностью администрации Города Томска в целях оспаривания права владения (пользования) гражданами, а также гражданами, являющимися членами потребительского кооператива, помещением, зданием, сооружением, используемым в качестве гаража, погреба, погребных или гаражных комплексов.
    8. Адрес и режим работы: г. Томск, пер. Плеханова, 4, каб. 103, понедельник- четверг с 9-13 и с 14-17 часов.
    9. Срок, в течение которого осуществляется прием обращений физических и (или) юридических лиц об оспаривании права владения (пользования) граждан, а также граждан, являющихся членами потребительского кооператива, помещением зданием, сооружением, используемом в качестве гаража, гаражных комплексов, указанных в обращении: 30 дней со дня опубликования.
    10. Дата окончания приема заявлений 16.12.2017 до 18-00.

    Ф 1 по стандарту: Серия 3.017-1

    Фундаменты оград Ф 1 — это обязательные составные части сборных железобетонных ограждений для промышленных предприятий и складских площадок. В качестве изоляции территории завода, крупной фабрики или строительного объекта оградам данного типа нет равных. Повышенные прочностные характеристики, максимальная устойчивость, непреодолимость для злоумышленников, стойкость к жестким условиям внешней среды и простота в монтаже – что еще может быть нужно? Фундаментные основы для таких оград относятся к стаканному типу, что существенно повышает их надежность.

    1. Варианты маркировки

    Варианты написания маркировочных обозначений типовых железобетонных изделий определяются официальными стандартами и не могут меняться по усмотрению производителя. Для фундаментов оград Серии 3.017-1 варианты маркировки могут быть такими:

    2. Основная сфера применения

    В установке массивных железобетонных ограждений порой нуждаются не только промышленные участки предприятий. За счет чрезвычайно высоких эксплуатационных характеристик такие «заборы» часто применяют для изоляции офисных зданий, территорий, где временно ведутся строительные работы и многое другое. Ограды Серии 3.017-1 и, соответственно, фундаменты Ф 1 легко переносят сильные морозы и влажность, они вполне могут устанавливаться на нестабильных грунтах и благодаря этому пользуются довольно большой популярностью в сфере современного строительства.

    1. Ф 1;
    2. Ф 2;

    3. Ф 3;

    4. Ф 4;

    5. Ф 5;

    6. Ф 6;

    7. Ф 7.

    3. Обозначения маркировки изделия

    Каждому отдельному составному элементу оград Серии 3.017-1 присвоено отдельное буквенно-цифровое обозначение. Это марка ЖБ изделия, которая указывает на вид элемента, особенности его конструкции, габаритные параметры и тип армирования (последнее опционально). Согласно с основными положениями типового проекта марку Ф 1 расшифровывать следует так:

    1. Ф – фундамент ограды железобетонный;

    2. 1 – порядковый номер типоразмера.

    Данное универсальное наименование помогает быстро идентифицировать строительный материал на складе или непосредственно на объекте. Полные размерные параметры для конкретного этого изделия представлены такими значениями:

    Длина = 900;

    Ширина = 700;

    Высота = 450;

    Вес = 480;

    Объем бетона = 0,19;

    Геометрический объем = 0,2835.

    Маркировочные обозначения в обязательном порядке наносятся на боковые грани каждого десятого элемента партии и дополняются информацией о дате выпуска и названии завода-производителя.

    4. Изготовление и основные характеристики

    Фундаменты железобетонных оград Ф 1 аналогично с прочими составными элементами промышленных изгородей изготавливаются в условиях оборудованных специализированных заводов, с условием обязательного пооперационного контроля над каждым этапом производства. Для данных изделий в качестве основной укрепляющей основы применяются плоские сетки, объединенные в пространственные каркасы методом контактно-точечной сварки. При этом в ход идет арматурная сталь классов А-І, А-ІІ и А-ІІІ. На стадии закрепления арматурных элементов в проектном положении к каркасу также привариваются строповочные петли для удобства при последующем изъятии из форм и монтажных работах.

    Что касается защитной цементной смеси, которой заливают заранее подготовленный каркас, то она делается из бетона высокой марки прочности М200. За счет высокого уровня морозостойкости цементного раствора готовое изделие может выдерживать вплоть до -50 градусов при расчетной средней температуре в 35 градусов. Бетонированию фундаментов уделяется особо пристальное внимание, так как в последствие изделия не будут подвергаться дополнительной обработке.

    При этом следует тщательно соблюдать все условия: равномерное распределение и максимальное уплотнение бетонной смеси, достижение ею отпускного уровня прочности в 70%, соответствие размерных параметров проектным показателям, гладкость поверхности, отсутствие усадочных трещин и наплывов. Все это проверяется в ходе проведения окончательных приемо-сдаточных испытаний. По успешному прохождению партией данных проверок, фундаменты, наконец, отправляются на склад или заказчику.

    5. Транспортировка и хранение

    Железобетонные панели и блоки для строительства хранят на заранее подготовленных площадках с выровненным песчано-щебенчатым основанием. Залогом сохранности изделий служит четкое соблюдение всех установленных норм безопасности. Хранить фундаменты оград Ф 1 следует в штабелях не выше 1,5 метров, располагая под каждым ребром специальную изолирующую прокладку. Главным условием безопасной погрузки является равномерное распределение веса ЖБ блока и использование соответствующей грузоподъемной техники. В кузове транспорта изделия надежно закрепляются с помощью специальных перетяжек, что служит необходимой защитой от ударов и опрокидывания во время тряски.

    Уважаемые покупатели! Сайт носит информационный характер. Указанные на сайте информация не являются публичной офертой (ст.435 ГК РФ). Стоимость и наличие товара просьба уточнять в офисе продаж или по телефону 8 (800) 500-22-52

    {\ alpha} \) (с \ (0.5 \ lesssim \ alpha \ lesssim 1.5 \)) поведение спектров мощности на низких частотах \ (f \) наблюдали в физике, технологии, биологии, астрофизике, геофизике, экономике, психологии. , язык и даже музыка (см. обзоры Press 1978, Hooge et al. 1981, Dutta and Horn 1981, Kogan 1985, Weissman 1988, West and Shlesinger 1990, Van Vliet 1991, Жигальский 1997, Milotti 2002 и Wong 2003).

    Введение

    Шум

    \ (1 / f \) является промежуточным звеном между хорошо изученным белым шумом без корреляции во времени и шумом случайного блуждания (броуновское движение) без корреляции между приращениями.Броуновское движение является интегралом белого шума, и интегрирование сигнала увеличивает показатель \ (\ alpha \) на 2, тогда как обратная операция дифференцирования уменьшает его на 2. Следовательно, \ (1 / f \) шум не может быть получен простой процедурой интегрирования или дифференцирования таких удобных сигналов. Более того, не существует простых, даже линейных стохастических дифференциальных уравнений, генерирующих сигналы с шумом \ (1 / f \). Широкое распространение сигналов, демонстрирующих такое поведение, предполагает, что может существовать общее математическое объяснение.Однако, за исключением некоторых формальных математических описаний, таких как дробное броуновское движение , (половинный интеграл сигнала белого шума), общепризнанного физического объяснения шума \ (1 / f \) предложено не было. Следовательно, повсеместное распространение шума \ (1 / f \) — одна из самых старых загадок современной физики и науки в целом.

    Случай \ (\ alpha = 1 \, \) или розовый шум является каноническим случаем, и наиболее интересная, но более общая форма, где \ (0 <\ alpha \ leq 3 \, \) иногда обозначается просто как \ (1 / f \.\ alpha \) шум представляет интерес, потому что он встречается во многих различных системах, как в мире природы, так и в искусственных процессах.

    Выражение «дальнодействующая зависимость», иногда используемое для обозначения шума \ (1 / f \), также использовалось в различных контекстах с несколько другими значениями. Так же иногда используются «долгая память» и другие варианты. Например, Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) использовали выражения «дальнодействующая зависимость» и \ (1 / f \) шум как синонимы.С другой стороны, в работе Грейнджера и Динга (1988) некоторые модели длинной памяти изучаются в окрестности \ (f = 0 \. \). Но наборы данных конечны, и сколь угодно малые \ (f \) не могут быть реализованным. По этой причине мы ограничиваем наше обсуждение поведением вне окрестности \ (f = 0 \. \)

    Часто открытие шума \ (1 / f \) в системе подразумевает существование какой-то другой специальной структуры, такой как самоорганизованная критичность или мультипликативный шум. Этот вывод необоснован, поскольку наше обсуждение различных моделей и их контекстов станет ясным.{\ alpha} \) спектр мощности — прямая линия, наклон которой \ (- \ alpha \, \) легко оценить. Ясно, что для таких природных систем, наблюдаемых людьми, нельзя зарегистрировать ни сколь угодно малые, ни сколь угодно большие частоты. Ниже мы описываем выборку моделей, которые имеют отношение к таким физически вероятным ситуациям.

    Рисунок 1: Слева: цветовая кодировка временных рядов различных шумов. Справа: соответствующие спектры мощности шумов.

    Ранняя история

    Шум

    \ (1 / f \) был обнаружен Джонсоном (1925) в данных эксперимента, предназначенного для проверки теории дробового шума Шоттки (1918) в электронных лампах (рис. 2} & \ textrm {if} \ 0 \ ll \ lambda_1 \ ll \ lambda_2 \ ll f \ end {array} \ right.\. \]

    Другими словами, \ (S (f) \) пропорционален \ (1 / f \) для \ (\ lambda_1 \ ll f \ ll \ lambda_2 \. \). Несколько позже McWhorter (1957) разработал более сложный модель, в которой шум объяснялся захватом и удалением поверхностных состояний.

    В отход от предыдущих теорий, которые подчеркивали физические свойства, Белл (1960) предположил, что такой шум является кооперативным явлением, возникающим из статистики очереди электронов, протекающих по проводу.Согласно теории Белла, электроны, текущие по проводу, случайным образом колеблются между связанным и возбужденным состояниями, выстраиваясь в очередь для доступа к узлам на атомах провода. Распределение вероятностей времени ожидания в очереди для зоны проводимости возбужденных свободных электронов, текущих по проводу, представляет собой суперпозицию экспоненциальных распределений с примерно равным весом их широко меняющихся постоянных времени, что приводит к уравнению, приведенному выше для спектральной плотности мощности. Белл (1960) также показал, что различные отклонения спектров мощности от \ (1 / f \, \), в частности, зависимость наклона спектра мощности от конкретного проводника или полупроводника, могут быть объяснены вариациями того, как суммирование возникает или в пределах, в которых это происходит.

    Рисунок 2: Примеры шумов \ (1 / f \). Кривые являются иллюстративными на основе данных из указанных источников. Смежные пары отметок на горизонтальной оси под каждым числом указывают одну декаду частоты.

    Примеры 1 / f-шума

    1 / f шум в твердых телах, конденсированных средах и электронных устройствах

    Низкочастотный шум или фликкер-шум был обнаружен во многих системах и стал горячей темой исследований более восьми десятилетий. Большинство исследований шума \ (1 / f \) проводилось на резисторах, операционных усилителях или другом электронном оборудовании и системах (http: // www. 2} = \ frac {\ alpha _H} {N_Cf}, \]

    где \ (\ alpha _H \) — безразмерная постоянная (параметр Хуге), а \ (N_C \) — количество носителей заряда в проводнике.Хотя эта формулировка оказала влияние и действительно дает полезное приближение к спектру мощности электрического шума во многих материалах, Вайсман (1988) рассмотрел доказательства и аргументы, что она и связанные с ней формулировки не могут привести к правильной общей теории \ (1 / е \) шум. Это связано с тем, что в подходе Хоуге флуктуации связаны с независимыми подвижными носителями заряда, которые не сохраняются в образце материала достаточно долго, чтобы генерировать низкочастотный конец спектра мощности \ (1 / f \).{-6.3} \) Гц (рисунок 2B). Для этого требовалось регистрировать напряжение в течение 3 месяцев, а не 2,5 года, которое можно было бы снизить с помощью различных хитроумных устройств. Он также значительно усовершенствовал процесс вычисления спектра мощности для таких шумов и предложил модель шума \ (1 / f \), аналогичную модели Маквортера (1957).

    Самоорганизованная критичность

    «Самоорганизованная критичность» относится к явлению, при котором диссипативная динамическая система со многими степенями свободы работает вблизи конфигурации с минимальной стабильностью, критической конфигурации, и делает это без какой-либо точной настройки под воздействием внешнего управляющего воздействия.{1+ \ gamma} \ приблизительно s \]

    где \ (\ gamma \) — скорость, с которой событие распространяется по системе. Было обнаружено, что эта конкретная модель и многие ее последователи имеют некоторые тонкие несоответствия, включая путаницу между параметрами порядка и управления, и был разработан более общий подход среднего поля, который исправил большинство этих несоответствий (Vespignani & Zapperi , 1998). Важно отметить, что настоящие, почти одномерные «кучи» рисовых зерен действительно демонстрируют шум \ (1 / f \) (Maslov, Tang & Zhang, 1999).Более того, непрерывная диссипативная версия модели Бака, Танга и Визенфельда (1987) с направленным распространением возмущений четко демонстрирует шум \ (1 / f \) как в 1-, так и в 2-мерной форме (De Los Rios & Zhang, 1999). {\ delta x } \) — характерное время, за которое энергия распространяется к узлу \ (x \) от начала решетки.Таким образом, в этой модели шум \ (1 / f \), характеризующий всю решетку, возникает в результате линейной суперпозиции (некоррелированных) спектров мощности независимых элементов, которые, в свою очередь, состоят из экспонент с диапазоном значений параметров, которые зависят от их расположение в решетке, как и в более ранних моделях, описанных выше.

    Сердце бьется и покачивается

    Один из мостов между неживыми и живыми системами — это наличие розового шума в обеих. Несколько примеров розового шума в живых системах представлены Musha (1981).Временной ряд, состоящий из интервалов между последовательными пиками R (отражающими мышечные сокращения) электрокардиограммы человеческого сердца, имеет спектр мощности приблизительно \ (1 / f \); Наклон логарифмического графика на Рисунке 2C составляет около 1,075 для нескольких десятилетий частоты. Муша (1981) также сообщил об исследовании покачивания человека, стоящего на платформе. Спектральная плотность мощности была приблизительно \ (1 / f \) для частот ниже 1 Гц, а \ (\ alpha \) была немного больше 1 для более высоких частот.Муша правильно считал, что спектр мощности \ (1 / f \) связан с механизмом контроля позы (Lauk, et al. 1998).

    1 / f шум в головном мозге

    Среди живых систем, производящих шум \ (1 / f \), есть мозг. В некоторых исследованиях «шум канала» в нейронах, который, как считается, возникает из-за случайного открытия и закрытия ионных каналов в клеточной мембране, рассматривается как \ (1 / f \. \). Одним из возможных механизмов этого является: модель колебания углеводородных цепей в липидах клеточной мембраны, которая влияет на проводимость ионов калия (Lundström and McQueen 1974).Муша (1981) показал, что ряд флуктуаций плотности времени (обратной скорости передачи) потенциалов действия, движущихся вниз по аксону гигантского кальмара, имеет спектр мощности примерно \ (1 / f \) ниже примерно 10 Гц (рис. 2D). . Новиков и др. (1997) обнаружили, что активность ансамблей нейронов в головном мозге, записанная у расслабленных людей с помощью магнитоэнцефалограммы, показывает спектр мощности \ (1 / f \) (рис. 2E). Спектр логарифма на рисунке 2E имеет наклон -1,03 в диапазоне 0.От 4 до 40 Гц. Записи электроэнцефалограммы также показывают шум \ (1 / f \) в головном мозге. Уорд (2002) описал неопубликованное исследование Макдональда и Уорда (1998), в котором серия больших связанных с событием потенциалов была вызвана 50-миллисекундной тональной вспышкой 1000 Гц с частотой 80 дБ от человека, сидящего в очень тихой ( 35 дБ фоновый шум) шумопоглощающее помещение. Спектр мощности серии, полученной путем выборки записи ЭЭГ в момент времени в период до стимула, и спектр мощности, полученный путем выборки записи ЭЭГ на пике самого раннего компонента потенциала, связанного с негативным событием, были приблизительно \ (1 / f \) (Рисунок 2F).

    Аналогично, Linkenkaer-Hansen at el. (2001) показали, что как МЭГ, так и записи ЭЭГ спонтанной нервной активности у людей отображают \ (1 / f \) — подобные спектры мощности в \ (\ alpha \, \) \ (\ mu \, \) и \ (\ бета \) частотных диапазонов, хотя показатели степени, как правило, были несколько меньше 1 и различались в частотных диапазонах. Они предположили, что наблюдаемое ими степенное масштабирование возникло из-за самоорганизованной критичности, возникающей в нейронных сетях мозга. Однако возможно, что этот вывод необязательно обоснован.Одно недавнее исследование (Bedard et al., 2006) показало, что \ (1 / f \) масштабирование потенциалов локального поля мозга, по-видимому, не связано с критическими состояниями в одновременно регистрируемых нейронах активности, а скорее возникает из-за фильтрации нейронного сигнала через корковая ткань.

    Фондовые рынки и ВНП

    Шум

    \ (1 / f \) в экономических данных обычно изучается как дальнодействующая зависимость или длинная память. Неоднократно было показано, что автокорреляционные функции экономических временных рядов, таких как ряды курсов акций за дни, недели или месяцы или ВНП различных стран за годы, не убывают экспоненциально, как если бы процесс, генерирующий ряды, был простой процесс авторегрессии (AR) (см. Baillie, 1996, для обзора длинной памяти в экономических данных).Вместо этого автокорреляционные функции многих экономических временных рядов достигают ненулевой асимптоты и остаются там на протяжении всего ряда, хотя часто и с низким значением, что указывает на то, что экономические события на некотором расстоянии в прошлом продолжают оказывать влияние на текущие цены или производство. . Такие процессы с длительной памятью обычно моделируются в экономике как процессы дробно-интегрированного белого шума в сочетании с процессами AR (параметр \ (p \)) и скользящего среднего (MA, параметр \ (q \)) для формирования ARFIMA (\ (p, d , q \)) модели, представленные Хоскингом (1981) как модели ARIMA (\ (p, d, q \)) (с интегрирующим параметром \ (d \) разрешено использовать действительное число вместо целого, как это есть в подходе Бокса-Дженкинса), а затем обсуждается в разделе «Определение шума \ (1 / f \).«Но это не единственный возможный подход. Например, Грейнджер (1980) был первым, кто показал, что длинная память может быть результатом агрегации бесконечного числа процессов AR со случайными параметрами, а Грейнджер и Динг (1996) показали, что это может произойти для более реалистичных агрегатов конечного числа процессов AR. В разделе «Математика \ (1 / f \) шума» ниже есть дополнительная информация об агрегировании процессов AR.

    Модель мультипликативного точечного процесса (см. Раздел «Математика шума 1 / f») торговой активности, включая обобщения и расширения модели, объясняющие изменчивость долгосрочной памяти, была предложена Гонтисом и Каулакисом (2004, 2007) .

    Музыка, восприятие времени, память и время реакции

    Восс и Кларк (1975) показали, что спектр мощности для флуктуаций интенсивности в записи Бранденбургского концерта № 1 Баха (рис. 2G) и во многих других случаях записанной музыки и человеческих голосов, слышимых по радио, был приблизительно равен \ ( 1 / f \) примерно за 3 декады частоты. Муша (1981) также резюмировал несколько своих собственных исследований, которые установили, что шум \ (1 / f \) в области пространственной частоты характерен для некоторых мультфильмов и картин, и что чрескожное уменьшение боли более эффективно, когда применяется в соответствии с \ (1 / е \) последовательность.Гилден, Торнтон и Маллон (1995) сообщили о спектрах мощности примерно \ (1 / f \) для временных рядов, состоящих из ошибок, сделанных людьми при оценке различных временных интервалов (рис. 2H). Подобные спектры мощности также были обнаружены для времени реакции человека при выполнении задания на запоминание (Clayton & Frey, 1995), во многих других традиционных задачах, используемых в экспериментальной психологии (Gilden, 1997), в координации касания пальцем с метрономом (Chen, Ding & Kelso, 1997), и даже в простых реакциях обнаружения (Van Orden, Holden and Turvey, 2005).В психологических данных колебания зависимой переменной, которые не могут быть объяснены изменениями независимой (ых) переменной (ей), называются «ошибкой» в смысле остатков линейной регрессии. Обычно считается, что такая ошибка возникает из-за процесса белого шума. Gilden et al. (1995) смоделировали ошибки оценки времени линейной комбинацией шума \ (1 / f \) от внутренних часов и белого шума от моторного процесса, производящего нажатие клавиши. Гилден (1997) распространил эту модель на другие времена реакции и тем самым разделил необъяснимые флуктуации зависимой переменной или ошибку на две составляющие \ [1 / f \] и белый.Он обнаружил, что значительная часть остаточной ошибки составляет \ (1 / f \. \). Уорд и Ричард (описанные в Ward, 2002) смоделировали шумовую составляющую \ (1 / f \) путем объединения трех процессов AR (1). с различными параметрами и показали, что манипуляция нагрузкой принятия решения в задаче классификации, которая изменяет наклон спектра мощности, больше всего влияет на процесс со средним параметром.

    Математика 1 / f-шума

    Хотя \ (1 / f \) шум появляется во многих природных системах, как обобщено выше, и интенсивно изучается в течение десятилетий с многочисленными попытками описать это явление математически, исследователи до сих пор не смогли прийти к единому объяснению.{2 (1- \ beta)}}. \]

    Когда \ (\ beta = 1/2 \, \), мы получаем \ (S (f) \ приблизительно1 / f \) (Lowen & Teich 2005).

    Точечный процесс Пуассона с кластеризацией

    Другой пример, основанный на точечном процессе Пуассона, — это кластеризация Пуассона. К каждой точке Пуассона \ (t_k \, \) присоединяется дополнительный набор точек, называемый кластером, который располагается после нее; кластеры могут перекрывать друг друга. Число точек в каждом кластере \ (m \, \) — это случайная величина, распределение которой \ (p_m \, \) сосредоточено на конечном наборе целых чисел.2 \) получаем \ (S (f) \ propto1 / f \) (Gruneis & Musha 1986). Несколько другая формулировка — это процесс стробирования, при котором кластеры не перекрываются. Здесь точечный процесс Пуассона умножается на процесс стробирования, который равен 1 на случайном интервале, затем 0 на случайном интервале и так далее. Чтобы получить шум \ (1 / f \), пусть интервалы 1 будут распределены экспоненциально, а интервалы 0 распределены геометрически, или наоборот. Затем примерно такие же вычисления, как только что обобщенные, дают приближение \ (1 / f \) (Gruneis 2001).Обратите внимание, что для процессов дробового шума, процессов кластера и стробирования, а также агрегации AR (1) вычисление спектральной плотности мощности дает сумму лоренцевых или лоренцевых функций.

    Повторяющиеся модели

    Недавно были предложены и обобщены модели точечных стохастических процессов шума \ (1 / f \) (Каулакис и Мешкаускас, 1998) (Каулакис и др., 2005). В этих моделях сигнал состоит из импульсов или событий.

    \ [x (t) = a \ sum_k \ delta (t-t_k). \]

    Здесь \ (\ delta (t) \) — дельта-функция Дирака, \ (\ {t_k \} \) — это набор моментов времени, когда частицы или импульсы пересекают сечение наблюдения, а \ (a \) — вклад в сигнал одного импульса или частицы.{\ mu} \ varepsilon _ {k}, \]

    , где \ (\ epsilon_k \) — i.i.d. Гауссов шум, \ (\ gamma \) очень мал, и \ (\ sigma \, \) стандартное отклонение шума также мало, в то время как \ (\ mu \) представляет степень мультипликативности процесса. 2 \) на длинном интервале, когда \ (\ gamma \) мало, и, следовательно, этот спектр мощности не такой, как у точечного процесса (чьи точки \ (t_k \) генерируют временной ряд) на этом интервале.2 & \ textrm {if} \ 1- \ theta_ {min} \ ll f \ ll 1 \ end {array} \ right. \. \]

    (Эрланд и Гринвуд 2007). Также обратите внимание, что \ (S_m (f) \) является лоренцевой функцией.

    Если коэффициенты \ (\ theta_m \) в процессах AR (1) равномерно распределены \ ((\ alpha = 1) \, \), можно получить хорошее приближение шума \ (1 / f \) просто путем усреднения индивидуальная серия. Это соответствует классическому результату о том, что спектр мощности однородной смеси экспоненциально убывающих автокорреляционных функций имеет форму \ (1 / f \) (Bell, 1960).\ alpha \, \) собирать или моделировать данные, относящиеся к модели, а затем оценивать параметр \ (\ alpha \) с помощью линейной регрессии или другого подобного метода (Pilgram & Kaplan, 1998) на основе логарифмически преобразованного спектра мощности данных. . Чаще всего физики (такие как Bell, 1960), биологи, инженеры, психологи и т. Д. Замечают, нанося спектр мощности на логарифмический график, что шум, производимый в конкретной экспериментальной ситуации, равен \ (1 / f \) — вроде. Затем они приступили, часто в отсутствие конкретной модели, к оценке \ (\ alpha \) с использованием линейной аппроксимации.Они также часто проверяют эту оценку против нулевой гипотезы \ (\ alpha = 0 \) или \ (\ alpha = 1 \. \)

    Если кто-то имеет в виду конкретную модель, например, одну из описанных в предыдущем разделе, лучшей процедурой будет оценка параметров этой модели на основе собственных данных и определение того, подразумевают ли эти оценки \ (1 / f \) шум в контексте этой модели. Это может быть трудно выполнить из-за отсутствия соответствующей схемы оценки. Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) предложили в контексте оценки наличия долгосрочной зависимости и / или шума \ (1 / f \) в психологических данных, что в отсутствие модели можно использовать схему, основанную на по оценке параметров модели, в которой свойство \ (1 / f \) возникает из-за дробно-разностного белого шума (Beran, 1994).Это модель ARFIMA (Hosking, 1981), где AR обозначает авторегрессивный процесс, MA обозначает процесс скользящего среднего, а FI обозначает частично интегрированный процесс белого шума. В схеме Wagenmakers et al. (2004) модель ARMA (1,1) тестируется против модели ARFIMA (1, \ (d \, \) 1), где \ (d \) — показатель степени оператора дробного разложения. Тест проводится с помощью процедуры, основанной на информационном критерии Акаике (AIC) (Akaike, 1974; Burnham, Anderson, 2002).k, \]

    где \ (B \) — оператор обратного сдвига, определенный в последовательности \ (X_t \) как \ (BX_t = X_ {t-1} \, \), а \ (d \) — параметр дробной разности. Модель ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) строится, сначала применяя оператор дробного разложения к шуму, \ (\ epsilon_t \, \), а затем используя полученный шум для построения процесса ARMA. Если \ (d \) может принимать только целые значения, у нас есть модель ARIMA, которая не отображает шум \ (1 / f \) для малых значений \ (p \) и \ (q \.{2d}}, \]

    и если \ (0 \ le d \ le 1/2 \, \), то процесс называется стационарным с дальнодействующей зависимостью. Если \ (d = 1/2 \), то спектр мощности в точности равен \ (1 / f \. \). Процедура Wagenmakers et al. (2004) использует алгоритм Doornik and Ooms (2003) для оценки \ (\ hat {d}, \) \ (\ hat {\ theta_1}, \) и \ (\ hat {\ phi_1} \) для временного ряда и на основе этих оценок проверяет ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) модель против модели ARMA (1,1). Считается, что предпочтение модели ARFIMA указывает на наличие дальнодействующей зависимости и шума \ (1 / f \) во временном ряду.\ alpha \) в связанном точечном процессе.

    Есть и другие подходы к описанию данных временных рядов способами, относящимися к шуму \ (1 / f \). К ним относятся анализ масштабированного диапазона (например, Chen, Ding & Kelso, 1997) и показатель Херста (например, Schroeder, 1991), которые оба включают оценку параметров, связанных с показателем степени спектра мощности, \ (\ alpha \. \) Например, для показателя Херста \ (H = (1+ \ alpha) / 2 \. \). Анализ данных временного ряда с нескольких точек зрения дает очевидные преимущества, но канонической процедуры пока не существует.

    Список литературы

    • Акаике Х. (1974) Новый взгляд на идентификацию статистической модели. IEEE Transactions on Automatic Control, 19: 716-723.
    • Baillie R.T. (1996) Процессы с длительной памятью и дробная интеграция в эконометрике. J. Economet., 73: 5-59.
    • Бак П. Тан К. Визенфельд К. (1987) Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1 / f. Phys. Rev. Lett., 59: 381–384.
    • Bedard C. Kroger H. Destexhe A. (2006) Отражает ли частотное масштабирование сигналов мозга 1 / f самоорганизованные критические состояния? Phys.Rev. Lett., 97: 118102.
    • Белл Д.А. (1960) Электрический шум. Лондон: Ван Ностранд.
    • Беран Дж. (1994). Статистика для процессов с длинной памятью. Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
    • Бернамонт Дж. (1937) Колебания потенциала вспомогательного металлического проводника по объему, паркуру по номиналу. Аня. Phys. (Лейпциг), 7: 71-140.
    • Бернхэм К. П. Андерсон Д. Р. (2002). Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход.\ alpha \) type) в координации человека. Phys. Rev. Lett., 79: 4501-4504.
    • Клейтон К. Фрей Б. (1997) Исследования ментального «шума». Нелин. Dynam. Psychol. Life Sci., 1: 173–180.
    • Калояннидес М.А. (1974) Микроцикловые спектральные оценки 1 / f-шума в полупроводниках. J. Appl. Phys., 45: 307—316.
    • Де Лос Риос П. Чжан-И-К. (1999) Универсальный 1 / f-шум из моделей диссипативной самоорганизованной критичности. Phys. Rev. Lett., 82: 472-475.
    • Доорник Я.А. и Оомс М.\ alpha \) шум от обратимых цепей Маркова. Phys. Ред. E, 76:
    • Гилден Д.Л. (1997) Колебания времени, необходимого для принятия элементарных решений. Psychol. Sci., 8: 296-301.
    • Гилден Д.Л. Торнтон Т. Мэллон М.В. (1995) 1 / f-шум в человеческом познании. Наука, 267: 1837-1839.
    • Гонтис В. Каулакис Б. (2004) Мультипликативный точечный процесс как модель торговой деятельности. Physica A, 343: 505-514; конд-мат / 0303089.
    • Гонтис В. Каулакис Б. (2007) Моделирование торговой активности с долгосрочной памятью с помощью стохастических дифференциальных уравнений.Physica A, 382 (1): 114-120; физика / 0608036.
    • Granger C.W.J. (1980) Отношения с длительной памятью и агрегирование динамических моделей. J. Economet., 14: 227-238.
    • Granger C.W.J. Дин З. (1996) Разновидности моделей с длинной памятью. J. Economet., 73: 61—77.
    • Gruneis F. (2001) 1 / f-шум, перемежаемость и кластеризация Пуассоновский процесс. Fluct. Noise Lett., 1: R119 — R130.
    • Gruneis F. Musha T. (1986) Кластеризация пуассоновского процесса и 1 / f-шума. Яп. J. Applied Phys., 25: 1504—1509.
    • Хоуге Ф. Н. (1976) 1 / ф шумы. Physica A&C, 83: 14-23.
    • Hooge F. N., Kleinpenning T. G. M., Vandamme L. K. J. (1981) Экспериментальные исследования 1 / f-шума. Rep. Prog. Phys., 44: 479-532.
    • Hooge F. N. (1994) 1 / f-источники шума. IEEE Trans. Электрон. Девич., 41: 1926-1935.
    • Hosking J.R.M. (1981) Дробное разложение. Биометрика, 68: 165-176.
    • Джонсон Дж. Б. (1925) Эффект Шоттки в низкочастотных цепях. Phys. Ред., 26: 71-85.
    • Каулакис Б. Мешкаускас Т. (1998) Моделирование 1 / f-шума. Phys. Откровение E, 58: 7013-7019.
    • Каулакис Б. Гонтис В. Алабурда М. (2005) Модель точечного процесса 1 / f-шума в сравнении с суммой лоренцевых. Phys. Rev. E, 71: 051105; конд-мат / 0504025.
    • Каулакис Б. Русецкас Дж. Гонтис В. Алабурда М. (2006) Нелинейные стохастические модели 1 / f-шума и степенные распределения. Physica A, 365: 217-221; конд-мат / 0509626.
    • Коган С. М. (1985) 1 / f-шум тока низкой частоты в твердых телах.Успехи физических наук, 145: 285-328; Сов. Phys. Усп. 28: 170.
    • Лаук М. Чоу C.C. Павлик А.Э. Коллинз Дж. Дж. (1998) Человеческий баланс из равновесия: неравновесная статистическая механика в контроле позы. Phys. Rev. Lett., 80: 413-416.
    • Линкенкаер-Хансен, К. Никулин, В.В. Palva, J.M. Ilmoniemi, R.J. (2001). Долгосрочные временные корреляции и масштабное поведение в колебаниях человеческого мозга. J. Neurosci., 21: 1370-1377.
    • Lowen, B. & Teich, M.C. 2005 Точечные процессы, основанные на фрактале.Хобокен, Нью-Джерси: Уайли.
    • Lundström I. McQueen D. (1974) Предложенный механизм шума 1 / f в мембранах нервных клеток. J. Теорет. Биол., 45: 405-409.
    • Мандельброт Б. (1998) Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике. Нью-Йорк: Спрингер.
    • Маслов С. Тан К. Чжан Ю.С. (1999) 1 / f-шум в моделях Бак-Танга-Визенфельда на узких полосах. Phys. Rev. Lett., 83: 2449—2452.
    • McWhorter A. L. (1957) 1 / f-шум и свойства поверхности германия. В физике поверхности полупроводников, под редакцией Р.Х. Кингстон, Пенсильванский университет, Филадельфия, стр. 207-228.
    • Милотти, Э. (2002) Педагогический обзор 1 / f-шума. Препринт Arxiv по физике / 0204033, 2002 — arxiv.org.
    • Муша Т. (1981) 1 / ф колебания в биологических системах. В P.H.E. Мейер, Р.Д. Маунтин и Р.Дж. Сулен младший (ред.), Шестая международная конференция по шуму в физических системах (стр. 143–146). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США и Национальное бюро стандартов.
    • Новиков Е. Новиков А.Шаннахофф-Халса Д. Шварц Б. Райт Дж. (1997) Масштабная активность мозга. Phys. Ред. E, 56: R2387-R2389.
    • Пилграм, Б. Каплан, Д.Т. (1998) Сравнение оценок для шума 1 / f. Physica D, 114: 108-122.
    • Press W. H. 1978 Мерцающие шумы в астрономии и других местах. Комментарии о астрофизике, 7: 103-119.
    • Schottky W. (1918) Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern. Аня. дер Phys., 57: 541-567.
    • Шоттки В. (1926) Эффект мелкого выстрела и эффект мерцания.Phys. Rev., 28: 74-103.
    • Шредер М. (1991) Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая. Нью-Йорк: Фриман.
    • Ван Орден Г.Дж. Холден Дж. Турви М.Т. (2005) Человеческое познание и масштабирование 1 / f. J. Exper. Психол .: Быт., 132: 331-350.
    • Ван Влит К. М. (1991) Обзор результатов и будущих перспектив квантового 1 / f-шума и 1 / f-шума в целом. Твердотельная электроника, 34: 1—21.
    • Веспиньяни А. Заппери С. (1998) Как работает самоорганизованная критичность.\ альфа \) шум в человеческом познании. Психоном. Бык. Rev., 11: 579-615.
    • Вайсман М. Б. (1988) 1 / f-шум и другая медленная неэкспоненциальная кинетика в конденсированных средах. Ред. Мод. Phys., 60: 537—571.
    • Уорд Л.М. (2002) Динамическая когнитивная наука. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
    • Вест Б. Дж. Шлезингер М.Ф. (1990) Шум в природных явлениях, American Scientist, 78: 40-45.
    • Вонг Х. (2003) Исследование низкочастотного шума в электронных устройствах: обзор и обновление. Микроэлектрон.Достоверн., 43: 585-599.
    • Жигальский Г. П. (1997) 1 / f-шум и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках. Успехи физических наук, 167: 623-648; Phys. Усп., 40, 599.

    Внутренние ссылки

    • Ян А. Сандерс (2006) Усреднение. Академия наук, 1 (11): 1760.
    • Валентино Брайтенберг (2007) Мозг. Академия наук, 2 (11): 2918.
    • Ижикевич Евгений Михайлович (2006) Взрыв. Академия наук, 1 (3): 1300.
    • Грегуар Николис и Катрин Рувас-Николис (2007) Сложные системы.Scholarpedia, 2 (11): 1473.
    • Джеймс Мейсс (2007) Динамические системы. Scholarpedia, 2 (2): 1629.
    • Пол Л. Нуньес и Рамеш Сринивасан (2007) Электроэнцефалограмма. Академия наук, 2 (2): 1348.
    • Марк Аронофф (2007) Язык. Академия наук, 2 (5): 3175.
    • Джефф Мохлис, Кресимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. Академия наук, 1 (7): 1358.
    • Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (2006) Стабильность. Академия наук, 1 (10): 1838.

    Внешние ссылки

    • 1 / f noise, Википедия [1]
    • Розовый шум, Википедия [2]
    • Библиография по шуму 1 / f [3]
    • Буквы флуктуации и шума (FNL) [4]
    • Генерация DSP розового (1 / f) шума [5]
    • Ассоциация науки, искусства и технологий колебаний: ASATeF [6]
    • Вариация Аллана [7]
    • Лаборатория надежности и контроля шума [8]
    • Анализатор спектра с вейвлет-преобразованием в реальном времени для исследования шума 1 / f α [9]
    • ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ КВАНТОВОГО 1 / f ШУМА, стр. \ alpha \, \]

      где \ (f \) — частота на интервале, ограниченном как нулем, так и бесконечностью.{\ alpha} \) (с \ (0.5 \ lesssim \ alpha \ lesssim 1.5 \)) поведение спектров мощности на низких частотах \ (f \) наблюдали в физике, технологии, биологии, астрофизике, геофизике, экономике, психологии. , язык и даже музыка (см. обзоры Press 1978, Hooge et al. 1981, Dutta and Horn 1981, Kogan 1985, Weissman 1988, West and Shlesinger 1990, Van Vliet 1991, Жигальский 1997, Milotti 2002 и Wong 2003).

      Введение

      Шум

      \ (1 / f \) является промежуточным звеном между хорошо изученным белым шумом без корреляции во времени и шумом случайного блуждания (броуновское движение) без корреляции между приращениями.Броуновское движение является интегралом белого шума, и интегрирование сигнала увеличивает показатель \ (\ alpha \) на 2, тогда как обратная операция дифференцирования уменьшает его на 2. Следовательно, \ (1 / f \) шум не может быть получен простой процедурой интегрирования или дифференцирования таких удобных сигналов. Более того, не существует простых, даже линейных стохастических дифференциальных уравнений, генерирующих сигналы с шумом \ (1 / f \). Широкое распространение сигналов, демонстрирующих такое поведение, предполагает, что может существовать общее математическое объяснение.Однако, за исключением некоторых формальных математических описаний, таких как дробное броуновское движение , (половинный интеграл сигнала белого шума), общепризнанного физического объяснения шума \ (1 / f \) предложено не было. Следовательно, повсеместное распространение шума \ (1 / f \) — одна из самых старых загадок современной физики и науки в целом.

      Случай \ (\ alpha = 1 \, \) или розовый шум является каноническим случаем, и наиболее интересная, но более общая форма, где \ (0 <\ alpha \ leq 3 \, \) иногда обозначается просто как \ (1 / f \.\ alpha \) шум представляет интерес, потому что он встречается во многих различных системах, как в мире природы, так и в искусственных процессах.

      Выражение «дальнодействующая зависимость», иногда используемое для обозначения шума \ (1 / f \), также использовалось в различных контекстах с несколько другими значениями. Так же иногда используются «долгая память» и другие варианты. Например, Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) использовали выражения «дальнодействующая зависимость» и \ (1 / f \) шум как синонимы.С другой стороны, в работе Грейнджера и Динга (1988) некоторые модели длинной памяти изучаются в окрестности \ (f = 0 \. \). Но наборы данных конечны, и сколь угодно малые \ (f \) не могут быть реализованным. По этой причине мы ограничиваем наше обсуждение поведением вне окрестности \ (f = 0 \. \)

      Часто открытие шума \ (1 / f \) в системе подразумевает существование какой-то другой специальной структуры, такой как самоорганизованная критичность или мультипликативный шум. Этот вывод необоснован, поскольку наше обсуждение различных моделей и их контекстов станет ясным.{\ alpha} \) спектр мощности — прямая линия, наклон которой \ (- \ alpha \, \) легко оценить. Ясно, что для таких природных систем, наблюдаемых людьми, нельзя зарегистрировать ни сколь угодно малые, ни сколь угодно большие частоты. Ниже мы описываем выборку моделей, которые имеют отношение к таким физически вероятным ситуациям.

      Рисунок 1: Слева: цветовая кодировка временных рядов различных шумов. Справа: соответствующие спектры мощности шумов.

      Ранняя история

      Шум

      \ (1 / f \) был обнаружен Джонсоном (1925) в данных эксперимента, предназначенного для проверки теории дробового шума Шоттки (1918) в электронных лампах (рис. 2А).2 \) для больших \ (f \, \) с узкой переходной областью, где спектр мощности напоминает спектр фликкер-шума, обнаруженный Джонсоном. Форма выражения Шоттки для спектра мощности называется «лоренцевой». Подробнее о лоренцевой форме будет сказано в разделе «Математика шума \ (1 / f \)». Бернамонт (1937) указал, что необходима суперпозиция таких процессов с различными скоростями релаксации, \ (\ lambda \. 2} & \ textrm {if} \ 0 \ ll \ lambda_1 \ ll \ lambda_2 \ ll f \ end {array} \ right.\. \]

      Другими словами, \ (S (f) \) пропорционален \ (1 / f \) для \ (\ lambda_1 \ ll f \ ll \ lambda_2 \. \). Несколько позже McWhorter (1957) разработал более сложный модель, в которой шум объяснялся захватом и удалением поверхностных состояний.

      В отход от предыдущих теорий, которые подчеркивали физические свойства, Белл (1960) предположил, что такой шум является кооперативным явлением, возникающим из статистики очереди электронов, протекающих по проводу.Согласно теории Белла, электроны, текущие по проводу, случайным образом колеблются между связанным и возбужденным состояниями, выстраиваясь в очередь для доступа к узлам на атомах провода. Распределение вероятностей времени ожидания в очереди для зоны проводимости возбужденных свободных электронов, текущих по проводу, представляет собой суперпозицию экспоненциальных распределений с примерно равным весом их широко меняющихся постоянных времени, что приводит к уравнению, приведенному выше для спектральной плотности мощности. Белл (1960) также показал, что различные отклонения спектров мощности от \ (1 / f \, \), в частности, зависимость наклона спектра мощности от конкретного проводника или полупроводника, могут быть объяснены вариациями того, как суммирование возникает или в пределах, в которых это происходит.

      Рисунок 2: Примеры шумов \ (1 / f \). Кривые являются иллюстративными на основе данных из указанных источников. Смежные пары отметок на горизонтальной оси под каждым числом указывают одну декаду частоты.

      Примеры 1 / f-шума

      1 / f шум в твердых телах, конденсированных средах и электронных устройствах

      Низкочастотный шум или фликкер-шум был обнаружен во многих системах и стал горячей темой исследований более восьми десятилетий. Большинство исследований шума \ (1 / f \) проводилось на резисторах, операционных усилителях или другом электронном оборудовании и системах (http: // www. 2} = \ frac {\ alpha _H} {N_Cf}, \]

      где \ (\ alpha _H \) — безразмерная постоянная (параметр Хуге), а \ (N_C \) — количество носителей заряда в проводнике.Хотя эта формулировка оказала влияние и действительно дает полезное приближение к спектру мощности электрического шума во многих материалах, Вайсман (1988) рассмотрел доказательства и аргументы, что она и связанные с ней формулировки не могут привести к правильной общей теории \ (1 / е \) шум. Это связано с тем, что в подходе Хоуге флуктуации связаны с независимыми подвижными носителями заряда, которые не сохраняются в образце материала достаточно долго, чтобы генерировать низкочастотный конец спектра мощности \ (1 / f \).{-6.3} \) Гц (рисунок 2B). Для этого требовалось регистрировать напряжение в течение 3 месяцев, а не 2,5 года, которое можно было бы снизить с помощью различных хитроумных устройств. Он также значительно усовершенствовал процесс вычисления спектра мощности для таких шумов и предложил модель шума \ (1 / f \), аналогичную модели Маквортера (1957).

      Самоорганизованная критичность

      «Самоорганизованная критичность» относится к явлению, при котором диссипативная динамическая система со многими степенями свободы работает вблизи конфигурации с минимальной стабильностью, критической конфигурации, и делает это без какой-либо точной настройки под воздействием внешнего управляющего воздействия.{1+ \ gamma} \ приблизительно s \]

      где \ (\ gamma \) — скорость, с которой событие распространяется по системе. Было обнаружено, что эта конкретная модель и многие ее последователи имеют некоторые тонкие несоответствия, включая путаницу между параметрами порядка и управления, и был разработан более общий подход среднего поля, который исправил большинство этих несоответствий (Vespignani & Zapperi , 1998). Важно отметить, что настоящие, почти одномерные «кучи» рисовых зерен действительно демонстрируют шум \ (1 / f \) (Maslov, Tang & Zhang, 1999).Более того, непрерывная диссипативная версия модели Бака, Танга и Визенфельда (1987) с направленным распространением возмущений четко демонстрирует шум \ (1 / f \) как в 1-, так и в 2-мерной форме (De Los Rios & Zhang, 1999). {\ delta x } \) — характерное время, за которое энергия распространяется к узлу \ (x \) от начала решетки.Таким образом, в этой модели шум \ (1 / f \), характеризующий всю решетку, возникает в результате линейной суперпозиции (некоррелированных) спектров мощности независимых элементов, которые, в свою очередь, состоят из экспонент с диапазоном значений параметров, которые зависят от их расположение в решетке, как и в более ранних моделях, описанных выше.

      Сердце бьется и покачивается

      Один из мостов между неживыми и живыми системами — это наличие розового шума в обеих. Несколько примеров розового шума в живых системах представлены Musha (1981).Временной ряд, состоящий из интервалов между последовательными пиками R (отражающими мышечные сокращения) электрокардиограммы человеческого сердца, имеет спектр мощности приблизительно \ (1 / f \); Наклон логарифмического графика на Рисунке 2C составляет около 1,075 для нескольких десятилетий частоты. Муша (1981) также сообщил об исследовании покачивания человека, стоящего на платформе. Спектральная плотность мощности была приблизительно \ (1 / f \) для частот ниже 1 Гц, а \ (\ alpha \) была немного больше 1 для более высоких частот.Муша правильно считал, что спектр мощности \ (1 / f \) связан с механизмом контроля позы (Lauk, et al. 1998).

      1 / f шум в головном мозге

      Среди живых систем, производящих шум \ (1 / f \), есть мозг. В некоторых исследованиях «шум канала» в нейронах, который, как считается, возникает из-за случайного открытия и закрытия ионных каналов в клеточной мембране, рассматривается как \ (1 / f \. \). Одним из возможных механизмов этого является: модель колебания углеводородных цепей в липидах клеточной мембраны, которая влияет на проводимость ионов калия (Lundström and McQueen 1974).Муша (1981) показал, что ряд флуктуаций плотности времени (обратной скорости передачи) потенциалов действия, движущихся вниз по аксону гигантского кальмара, имеет спектр мощности примерно \ (1 / f \) ниже примерно 10 Гц (рис. 2D). . Новиков и др. (1997) обнаружили, что активность ансамблей нейронов в головном мозге, записанная у расслабленных людей с помощью магнитоэнцефалограммы, показывает спектр мощности \ (1 / f \) (рис. 2E). Спектр логарифма на рисунке 2E имеет наклон -1,03 в диапазоне 0.От 4 до 40 Гц. Записи электроэнцефалограммы также показывают шум \ (1 / f \) в головном мозге. Уорд (2002) описал неопубликованное исследование Макдональда и Уорда (1998), в котором серия больших связанных с событием потенциалов была вызвана 50-миллисекундной тональной вспышкой 1000 Гц с частотой 80 дБ от человека, сидящего в очень тихой ( 35 дБ фоновый шум) шумопоглощающее помещение. Спектр мощности серии, полученной путем выборки записи ЭЭГ в момент времени в период до стимула, и спектр мощности, полученный путем выборки записи ЭЭГ на пике самого раннего компонента потенциала, связанного с негативным событием, были приблизительно \ (1 / f \) (Рисунок 2F).

      Аналогично, Linkenkaer-Hansen at el. (2001) показали, что как МЭГ, так и записи ЭЭГ спонтанной нервной активности у людей отображают \ (1 / f \) — подобные спектры мощности в \ (\ alpha \, \) \ (\ mu \, \) и \ (\ бета \) частотных диапазонов, хотя показатели степени, как правило, были несколько меньше 1 и различались в частотных диапазонах. Они предположили, что наблюдаемое ими степенное масштабирование возникло из-за самоорганизованной критичности, возникающей в нейронных сетях мозга. Однако возможно, что этот вывод необязательно обоснован.Одно недавнее исследование (Bedard et al., 2006) показало, что \ (1 / f \) масштабирование потенциалов локального поля мозга, по-видимому, не связано с критическими состояниями в одновременно регистрируемых нейронах активности, а скорее возникает из-за фильтрации нейронного сигнала через корковая ткань.

      Фондовые рынки и ВНП

      Шум

      \ (1 / f \) в экономических данных обычно изучается как дальнодействующая зависимость или длинная память. Неоднократно было показано, что автокорреляционные функции экономических временных рядов, таких как ряды курсов акций за дни, недели или месяцы или ВНП различных стран за годы, не убывают экспоненциально, как если бы процесс, генерирующий ряды, был простой процесс авторегрессии (AR) (см. Baillie, 1996, для обзора длинной памяти в экономических данных).Вместо этого автокорреляционные функции многих экономических временных рядов достигают ненулевой асимптоты и остаются там на протяжении всего ряда, хотя часто и с низким значением, что указывает на то, что экономические события на некотором расстоянии в прошлом продолжают оказывать влияние на текущие цены или производство. . Такие процессы с длительной памятью обычно моделируются в экономике как процессы дробно-интегрированного белого шума в сочетании с процессами AR (параметр \ (p \)) и скользящего среднего (MA, параметр \ (q \)) для формирования ARFIMA (\ (p, d , q \)) модели, представленные Хоскингом (1981) как модели ARIMA (\ (p, d, q \)) (с интегрирующим параметром \ (d \) разрешено использовать действительное число вместо целого, как это есть в подходе Бокса-Дженкинса), а затем обсуждается в разделе «Определение шума \ (1 / f \).«Но это не единственный возможный подход. Например, Грейнджер (1980) был первым, кто показал, что длинная память может быть результатом агрегации бесконечного числа процессов AR со случайными параметрами, а Грейнджер и Динг (1996) показали, что это может произойти для более реалистичных агрегатов конечного числа процессов AR. В разделе «Математика \ (1 / f \) шума» ниже есть дополнительная информация об агрегировании процессов AR.

      Модель мультипликативного точечного процесса (см. Раздел «Математика шума 1 / f») торговой активности, включая обобщения и расширения модели, объясняющие изменчивость долгосрочной памяти, была предложена Гонтисом и Каулакисом (2004, 2007) .

      Музыка, восприятие времени, память и время реакции

      Восс и Кларк (1975) показали, что спектр мощности для флуктуаций интенсивности в записи Бранденбургского концерта № 1 Баха (рис. 2G) и во многих других случаях записанной музыки и человеческих голосов, слышимых по радио, был приблизительно равен \ ( 1 / f \) примерно за 3 декады частоты. Муша (1981) также резюмировал несколько своих собственных исследований, которые установили, что шум \ (1 / f \) в области пространственной частоты характерен для некоторых мультфильмов и картин, и что чрескожное уменьшение боли более эффективно, когда применяется в соответствии с \ (1 / е \) последовательность.Гилден, Торнтон и Маллон (1995) сообщили о спектрах мощности примерно \ (1 / f \) для временных рядов, состоящих из ошибок, сделанных людьми при оценке различных временных интервалов (рис. 2H). Подобные спектры мощности также были обнаружены для времени реакции человека при выполнении задания на запоминание (Clayton & Frey, 1995), во многих других традиционных задачах, используемых в экспериментальной психологии (Gilden, 1997), в координации касания пальцем с метрономом (Chen, Ding & Kelso, 1997), и даже в простых реакциях обнаружения (Van Orden, Holden and Turvey, 2005).В психологических данных колебания зависимой переменной, которые не могут быть объяснены изменениями независимой (ых) переменной (ей), называются «ошибкой» в смысле остатков линейной регрессии. Обычно считается, что такая ошибка возникает из-за процесса белого шума. Gilden et al. (1995) смоделировали ошибки оценки времени линейной комбинацией шума \ (1 / f \) от внутренних часов и белого шума от моторного процесса, производящего нажатие клавиши. Гилден (1997) распространил эту модель на другие времена реакции и тем самым разделил необъяснимые флуктуации зависимой переменной или ошибку на две составляющие \ [1 / f \] и белый.Он обнаружил, что значительная часть остаточной ошибки составляет \ (1 / f \. \). Уорд и Ричард (описанные в Ward, 2002) смоделировали шумовую составляющую \ (1 / f \) путем объединения трех процессов AR (1). с различными параметрами и показали, что манипуляция нагрузкой принятия решения в задаче классификации, которая изменяет наклон спектра мощности, больше всего влияет на процесс со средним параметром.

      Математика 1 / f-шума

      Хотя \ (1 / f \) шум появляется во многих природных системах, как обобщено выше, и интенсивно изучается в течение десятилетий с многочисленными попытками описать это явление математически, исследователи до сих пор не смогли прийти к единому объяснению.{2 (1- \ beta)}}. \]

      Когда \ (\ beta = 1/2 \, \), мы получаем \ (S (f) \ приблизительно1 / f \) (Lowen & Teich 2005).

      Точечный процесс Пуассона с кластеризацией

      Другой пример, основанный на точечном процессе Пуассона, — это кластеризация Пуассона. К каждой точке Пуассона \ (t_k \, \) присоединяется дополнительный набор точек, называемый кластером, который располагается после нее; кластеры могут перекрывать друг друга. Число точек в каждом кластере \ (m \, \) — это случайная величина, распределение которой \ (p_m \, \) сосредоточено на конечном наборе целых чисел.2 \) получаем \ (S (f) \ propto1 / f \) (Gruneis & Musha 1986). Несколько другая формулировка — это процесс стробирования, при котором кластеры не перекрываются. Здесь точечный процесс Пуассона умножается на процесс стробирования, который равен 1 на случайном интервале, затем 0 на случайном интервале и так далее. Чтобы получить шум \ (1 / f \), пусть интервалы 1 будут распределены экспоненциально, а интервалы 0 распределены геометрически, или наоборот. Затем примерно такие же вычисления, как только что обобщенные, дают приближение \ (1 / f \) (Gruneis 2001).Обратите внимание, что для процессов дробового шума, процессов кластера и стробирования, а также агрегации AR (1) вычисление спектральной плотности мощности дает сумму лоренцевых или лоренцевых функций.

      Повторяющиеся модели

      Недавно были предложены и обобщены модели точечных стохастических процессов шума \ (1 / f \) (Каулакис и Мешкаускас, 1998) (Каулакис и др., 2005). В этих моделях сигнал состоит из импульсов или событий.

      \ [x (t) = a \ sum_k \ delta (t-t_k). \]

      Здесь \ (\ delta (t) \) — дельта-функция Дирака, \ (\ {t_k \} \) — это набор моментов времени, когда частицы или импульсы пересекают сечение наблюдения, а \ (a \) — вклад в сигнал одного импульса или частицы.{\ mu} \ varepsilon _ {k}, \]

      , где \ (\ epsilon_k \) — i.i.d. Гауссов шум, \ (\ gamma \) очень мал, и \ (\ sigma \, \) стандартное отклонение шума также мало, в то время как \ (\ mu \) представляет степень мультипликативности процесса. 2 \) на длинном интервале, когда \ (\ gamma \) мало, и, следовательно, этот спектр мощности не такой, как у точечного процесса (чьи точки \ (t_k \) генерируют временной ряд) на этом интервале.2 & \ textrm {if} \ 1- \ theta_ {min} \ ll f \ ll 1 \ end {array} \ right. \. \]

      (Эрланд и Гринвуд 2007). Также обратите внимание, что \ (S_m (f) \) является лоренцевой функцией.

      Если коэффициенты \ (\ theta_m \) в процессах AR (1) равномерно распределены \ ((\ alpha = 1) \, \), можно получить хорошее приближение шума \ (1 / f \) просто путем усреднения индивидуальная серия. Это соответствует классическому результату о том, что спектр мощности однородной смеси экспоненциально убывающих автокорреляционных функций имеет форму \ (1 / f \) (Bell, 1960).\ alpha \, \) собирать или моделировать данные, относящиеся к модели, а затем оценивать параметр \ (\ alpha \) с помощью линейной регрессии или другого подобного метода (Pilgram & Kaplan, 1998) на основе логарифмически преобразованного спектра мощности данных. . Чаще всего физики (такие как Bell, 1960), биологи, инженеры, психологи и т. Д. Замечают, нанося спектр мощности на логарифмический график, что шум, производимый в конкретной экспериментальной ситуации, равен \ (1 / f \) — вроде. Затем они приступили, часто в отсутствие конкретной модели, к оценке \ (\ alpha \) с использованием линейной аппроксимации.Они также часто проверяют эту оценку против нулевой гипотезы \ (\ alpha = 0 \) или \ (\ alpha = 1 \. \)

      Если кто-то имеет в виду конкретную модель, например, одну из описанных в предыдущем разделе, лучшей процедурой будет оценка параметров этой модели на основе собственных данных и определение того, подразумевают ли эти оценки \ (1 / f \) шум в контексте этой модели. Это может быть трудно выполнить из-за отсутствия соответствующей схемы оценки. Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) предложили в контексте оценки наличия долгосрочной зависимости и / или шума \ (1 / f \) в психологических данных, что в отсутствие модели можно использовать схему, основанную на по оценке параметров модели, в которой свойство \ (1 / f \) возникает из-за дробно-разностного белого шума (Beran, 1994).Это модель ARFIMA (Hosking, 1981), где AR обозначает авторегрессивный процесс, MA обозначает процесс скользящего среднего, а FI обозначает частично интегрированный процесс белого шума. В схеме Wagenmakers et al. (2004) модель ARMA (1,1) тестируется против модели ARFIMA (1, \ (d \, \) 1), где \ (d \) — показатель степени оператора дробного разложения. Тест проводится с помощью процедуры, основанной на информационном критерии Акаике (AIC) (Akaike, 1974; Burnham, Anderson, 2002).k, \]

      где \ (B \) — оператор обратного сдвига, определенный в последовательности \ (X_t \) как \ (BX_t = X_ {t-1} \, \), а \ (d \) — параметр дробной разности. Модель ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) строится, сначала применяя оператор дробного разложения к шуму, \ (\ epsilon_t \, \), а затем используя полученный шум для построения процесса ARMA. Если \ (d \) может принимать только целые значения, у нас есть модель ARIMA, которая не отображает шум \ (1 / f \) для малых значений \ (p \) и \ (q \.{2d}}, \]

      и если \ (0 \ le d \ le 1/2 \, \), то процесс называется стационарным с дальнодействующей зависимостью. Если \ (d = 1/2 \), то спектр мощности в точности равен \ (1 / f \. \). Процедура Wagenmakers et al. (2004) использует алгоритм Doornik and Ooms (2003) для оценки \ (\ hat {d}, \) \ (\ hat {\ theta_1}, \) и \ (\ hat {\ phi_1} \) для временного ряда и на основе этих оценок проверяет ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) модель против модели ARMA (1,1). Считается, что предпочтение модели ARFIMA указывает на наличие дальнодействующей зависимости и шума \ (1 / f \) во временном ряду.\ alpha \) в связанном точечном процессе.

      Есть и другие подходы к описанию данных временных рядов способами, относящимися к шуму \ (1 / f \). К ним относятся анализ масштабированного диапазона (например, Chen, Ding & Kelso, 1997) и показатель Херста (например, Schroeder, 1991), которые оба включают оценку параметров, связанных с показателем степени спектра мощности, \ (\ alpha \. \) Например, для показателя Херста \ (H = (1+ \ alpha) / 2 \. \). Анализ данных временного ряда с нескольких точек зрения дает очевидные преимущества, но канонической процедуры пока не существует.

      Список литературы

      • Акаике Х. (1974) Новый взгляд на идентификацию статистической модели. IEEE Transactions on Automatic Control, 19: 716-723.
      • Baillie R.T. (1996) Процессы с длительной памятью и дробная интеграция в эконометрике. J. Economet., 73: 5-59.
      • Бак П. Тан К. Визенфельд К. (1987) Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1 / f. Phys. Rev. Lett., 59: 381–384.
      • Bedard C. Kroger H. Destexhe A. (2006) Отражает ли частотное масштабирование сигналов мозга 1 / f самоорганизованные критические состояния? Phys.Rev. Lett., 97: 118102.
      • Белл Д.А. (1960) Электрический шум. Лондон: Ван Ностранд.
      • Беран Дж. (1994). Статистика для процессов с длинной памятью. Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
      • Бернамонт Дж. (1937) Колебания потенциала вспомогательного металлического проводника по объему, паркуру по номиналу. Аня. Phys. (Лейпциг), 7: 71-140.
      • Бернхэм К. П. Андерсон Д. Р. (2002). Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход.\ alpha \) type) в координации человека. Phys. Rev. Lett., 79: 4501-4504.
      • Клейтон К. Фрей Б. (1997) Исследования ментального «шума». Нелин. Dynam. Psychol. Life Sci., 1: 173–180.
      • Калояннидес М.А. (1974) Микроцикловые спектральные оценки 1 / f-шума в полупроводниках. J. Appl. Phys., 45: 307—316.
      • Де Лос Риос П. Чжан-И-К. (1999) Универсальный 1 / f-шум из моделей диссипативной самоорганизованной критичности. Phys. Rev. Lett., 82: 472-475.
      • Доорник Я.А. и Оомс М.\ alpha \) шум от обратимых цепей Маркова. Phys. Ред. E, 76:
      • Гилден Д.Л. (1997) Колебания времени, необходимого для принятия элементарных решений. Psychol. Sci., 8: 296-301.
      • Гилден Д.Л. Торнтон Т. Мэллон М.В. (1995) 1 / f-шум в человеческом познании. Наука, 267: 1837-1839.
      • Гонтис В. Каулакис Б. (2004) Мультипликативный точечный процесс как модель торговой деятельности. Physica A, 343: 505-514; конд-мат / 0303089.
      • Гонтис В. Каулакис Б. (2007) Моделирование торговой активности с долгосрочной памятью с помощью стохастических дифференциальных уравнений.Physica A, 382 (1): 114-120; физика / 0608036.
      • Granger C.W.J. (1980) Отношения с длительной памятью и агрегирование динамических моделей. J. Economet., 14: 227-238.
      • Granger C.W.J. Дин З. (1996) Разновидности моделей с длинной памятью. J. Economet., 73: 61—77.
      • Gruneis F. (2001) 1 / f-шум, перемежаемость и кластеризация Пуассоновский процесс. Fluct. Noise Lett., 1: R119 — R130.
      • Gruneis F. Musha T. (1986) Кластеризация пуассоновского процесса и 1 / f-шума. Яп. J. Applied Phys., 25: 1504—1509.
      • Хоуге Ф. Н. (1976) 1 / ф шумы. Physica A&C, 83: 14-23.
      • Hooge F. N., Kleinpenning T. G. M., Vandamme L. K. J. (1981) Экспериментальные исследования 1 / f-шума. Rep. Prog. Phys., 44: 479-532.
      • Hooge F. N. (1994) 1 / f-источники шума. IEEE Trans. Электрон. Девич., 41: 1926-1935.
      • Hosking J.R.M. (1981) Дробное разложение. Биометрика, 68: 165-176.
      • Джонсон Дж. Б. (1925) Эффект Шоттки в низкочастотных цепях. Phys. Ред., 26: 71-85.
      • Каулакис Б. Мешкаускас Т. (1998) Моделирование 1 / f-шума. Phys. Откровение E, 58: 7013-7019.
      • Каулакис Б. Гонтис В. Алабурда М. (2005) Модель точечного процесса 1 / f-шума в сравнении с суммой лоренцевых. Phys. Rev. E, 71: 051105; конд-мат / 0504025.
      • Каулакис Б. Русецкас Дж. Гонтис В. Алабурда М. (2006) Нелинейные стохастические модели 1 / f-шума и степенные распределения. Physica A, 365: 217-221; конд-мат / 0509626.
      • Коган С. М. (1985) 1 / f-шум тока низкой частоты в твердых телах.Успехи физических наук, 145: 285-328; Сов. Phys. Усп. 28: 170.
      • Лаук М. Чоу C.C. Павлик А.Э. Коллинз Дж. Дж. (1998) Человеческий баланс из равновесия: неравновесная статистическая механика в контроле позы. Phys. Rev. Lett., 80: 413-416.
      • Линкенкаер-Хансен, К. Никулин, В.В. Palva, J.M. Ilmoniemi, R.J. (2001). Долгосрочные временные корреляции и масштабное поведение в колебаниях человеческого мозга. J. Neurosci., 21: 1370-1377.
      • Lowen, B. & Teich, M.C. 2005 Точечные процессы, основанные на фрактале.Хобокен, Нью-Джерси: Уайли.
      • Lundström I. McQueen D. (1974) Предложенный механизм шума 1 / f в мембранах нервных клеток. J. Теорет. Биол., 45: 405-409.
      • Мандельброт Б. (1998) Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике. Нью-Йорк: Спрингер.
      • Маслов С. Тан К. Чжан Ю.С. (1999) 1 / f-шум в моделях Бак-Танга-Визенфельда на узких полосах. Phys. Rev. Lett., 83: 2449—2452.
      • McWhorter A. L. (1957) 1 / f-шум и свойства поверхности германия. В физике поверхности полупроводников, под редакцией Р.Х. Кингстон, Пенсильванский университет, Филадельфия, стр. 207-228.
      • Милотти, Э. (2002) Педагогический обзор 1 / f-шума. Препринт Arxiv по физике / 0204033, 2002 — arxiv.org.
      • Муша Т. (1981) 1 / ф колебания в биологических системах. В P.H.E. Мейер, Р.Д. Маунтин и Р.Дж. Сулен младший (ред.), Шестая международная конференция по шуму в физических системах (стр. 143–146). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США и Национальное бюро стандартов.
      • Новиков Е. Новиков А.Шаннахофф-Халса Д. Шварц Б. Райт Дж. (1997) Масштабная активность мозга. Phys. Ред. E, 56: R2387-R2389.
      • Пилграм, Б. Каплан, Д.Т. (1998) Сравнение оценок для шума 1 / f. Physica D, 114: 108-122.
      • Press W. H. 1978 Мерцающие шумы в астрономии и других местах. Комментарии о астрофизике, 7: 103-119.
      • Schottky W. (1918) Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern. Аня. дер Phys., 57: 541-567.
      • Шоттки В. (1926) Эффект мелкого выстрела и эффект мерцания.Phys. Rev., 28: 74-103.
      • Шредер М. (1991) Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая. Нью-Йорк: Фриман.
      • Ван Орден Г.Дж. Холден Дж. Турви М.Т. (2005) Человеческое познание и масштабирование 1 / f. J. Exper. Психол .: Быт., 132: 331-350.
      • Ван Влит К. М. (1991) Обзор результатов и будущих перспектив квантового 1 / f-шума и 1 / f-шума в целом. Твердотельная электроника, 34: 1—21.
      • Веспиньяни А. Заппери С. (1998) Как работает самоорганизованная критичность.\ альфа \) шум в человеческом познании. Психоном. Бык. Rev., 11: 579-615.
      • Вайсман М. Б. (1988) 1 / f-шум и другая медленная неэкспоненциальная кинетика в конденсированных средах. Ред. Мод. Phys., 60: 537—571.
      • Уорд Л.М. (2002) Динамическая когнитивная наука. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
      • Вест Б. Дж. Шлезингер М.Ф. (1990) Шум в природных явлениях, American Scientist, 78: 40-45.
      • Вонг Х. (2003) Исследование низкочастотного шума в электронных устройствах: обзор и обновление. Микроэлектрон.Достоверн., 43: 585-599.
      • Жигальский Г. П. (1997) 1 / f-шум и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках. Успехи физических наук, 167: 623-648; Phys. Усп., 40, 599.

      Внутренние ссылки

      • Ян А. Сандерс (2006) Усреднение. Академия наук, 1 (11): 1760.
      • Валентино Брайтенберг (2007) Мозг. Академия наук, 2 (11): 2918.
      • Ижикевич Евгений Михайлович (2006) Взрыв. Академия наук, 1 (3): 1300.
      • Грегуар Николис и Катрин Рувас-Николис (2007) Сложные системы.Scholarpedia, 2 (11): 1473.
      • Джеймс Мейсс (2007) Динамические системы. Scholarpedia, 2 (2): 1629.
      • Пол Л. Нуньес и Рамеш Сринивасан (2007) Электроэнцефалограмма. Академия наук, 2 (2): 1348.
      • Марк Аронофф (2007) Язык. Академия наук, 2 (5): 3175.
      • Джефф Мохлис, Кресимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. Академия наук, 1 (7): 1358.
      • Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (2006) Стабильность. Академия наук, 1 (10): 1838.

      Внешние ссылки

      • 1 / f noise, Википедия [1]
      • Розовый шум, Википедия [2]
      • Библиография по шуму 1 / f [3]
      • Буквы флуктуации и шума (FNL) [4]
      • Генерация DSP розового (1 / f) шума [5]
      • Ассоциация науки, искусства и технологий колебаний: ASATeF [6]
      • Вариация Аллана [7]
      • Лаборатория надежности и контроля шума [8]
      • Анализатор спектра с вейвлет-преобразованием в реальном времени для исследования шума 1 / f α [9]
      • ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ КВАНТОВОГО 1 / f ШУМА, стр. \ alpha \, \]

        где \ (f \) — частота на интервале, ограниченном как нулем, так и бесконечностью.{\ alpha} \) (с \ (0.5 \ lesssim \ alpha \ lesssim 1.5 \)) поведение спектров мощности на низких частотах \ (f \) наблюдали в физике, технологии, биологии, астрофизике, геофизике, экономике, психологии. , язык и даже музыка (см. обзоры Press 1978, Hooge et al. 1981, Dutta and Horn 1981, Kogan 1985, Weissman 1988, West and Shlesinger 1990, Van Vliet 1991, Жигальский 1997, Milotti 2002 и Wong 2003).

        Введение

        Шум

        \ (1 / f \) является промежуточным звеном между хорошо изученным белым шумом без корреляции во времени и шумом случайного блуждания (броуновское движение) без корреляции между приращениями.Броуновское движение является интегралом белого шума, и интегрирование сигнала увеличивает показатель \ (\ alpha \) на 2, тогда как обратная операция дифференцирования уменьшает его на 2. Следовательно, \ (1 / f \) шум не может быть получен простой процедурой интегрирования или дифференцирования таких удобных сигналов. Более того, не существует простых, даже линейных стохастических дифференциальных уравнений, генерирующих сигналы с шумом \ (1 / f \). Широкое распространение сигналов, демонстрирующих такое поведение, предполагает, что может существовать общее математическое объяснение.Однако, за исключением некоторых формальных математических описаний, таких как дробное броуновское движение , (половинный интеграл сигнала белого шума), общепризнанного физического объяснения шума \ (1 / f \) предложено не было. Следовательно, повсеместное распространение шума \ (1 / f \) — одна из самых старых загадок современной физики и науки в целом.

        Случай \ (\ alpha = 1 \, \) или розовый шум является каноническим случаем, и наиболее интересная, но более общая форма, где \ (0 <\ alpha \ leq 3 \, \) иногда обозначается просто как \ (1 / f \.\ alpha \) шум представляет интерес, потому что он встречается во многих различных системах, как в мире природы, так и в искусственных процессах.

        Выражение «дальнодействующая зависимость», иногда используемое для обозначения шума \ (1 / f \), также использовалось в различных контекстах с несколько другими значениями. Так же иногда используются «долгая память» и другие варианты. Например, Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) использовали выражения «дальнодействующая зависимость» и \ (1 / f \) шум как синонимы.С другой стороны, в работе Грейнджера и Динга (1988) некоторые модели длинной памяти изучаются в окрестности \ (f = 0 \. \). Но наборы данных конечны, и сколь угодно малые \ (f \) не могут быть реализованным. По этой причине мы ограничиваем наше обсуждение поведением вне окрестности \ (f = 0 \. \)

        Часто открытие шума \ (1 / f \) в системе подразумевает существование какой-то другой специальной структуры, такой как самоорганизованная критичность или мультипликативный шум. Этот вывод необоснован, поскольку наше обсуждение различных моделей и их контекстов станет ясным.{\ alpha} \) спектр мощности — прямая линия, наклон которой \ (- \ alpha \, \) легко оценить. Ясно, что для таких природных систем, наблюдаемых людьми, нельзя зарегистрировать ни сколь угодно малые, ни сколь угодно большие частоты. Ниже мы описываем выборку моделей, которые имеют отношение к таким физически вероятным ситуациям.

        Рисунок 1: Слева: цветовая кодировка временных рядов различных шумов. Справа: соответствующие спектры мощности шумов.

        Ранняя история

        Шум

        \ (1 / f \) был обнаружен Джонсоном (1925) в данных эксперимента, предназначенного для проверки теории дробового шума Шоттки (1918) в электронных лампах (рис. 2А).2 \) для больших \ (f \, \) с узкой переходной областью, где спектр мощности напоминает спектр фликкер-шума, обнаруженный Джонсоном. Форма выражения Шоттки для спектра мощности называется «лоренцевой». Подробнее о лоренцевой форме будет сказано в разделе «Математика шума \ (1 / f \)». Бернамонт (1937) указал, что необходима суперпозиция таких процессов с различными скоростями релаксации, \ (\ lambda \. 2} & \ textrm {if} \ 0 \ ll \ lambda_1 \ ll \ lambda_2 \ ll f \ end {array} \ right.\. \]

        Другими словами, \ (S (f) \) пропорционален \ (1 / f \) для \ (\ lambda_1 \ ll f \ ll \ lambda_2 \. \). Несколько позже McWhorter (1957) разработал более сложный модель, в которой шум объяснялся захватом и удалением поверхностных состояний.

        В отход от предыдущих теорий, которые подчеркивали физические свойства, Белл (1960) предположил, что такой шум является кооперативным явлением, возникающим из статистики очереди электронов, протекающих по проводу.Согласно теории Белла, электроны, текущие по проводу, случайным образом колеблются между связанным и возбужденным состояниями, выстраиваясь в очередь для доступа к узлам на атомах провода. Распределение вероятностей времени ожидания в очереди для зоны проводимости возбужденных свободных электронов, текущих по проводу, представляет собой суперпозицию экспоненциальных распределений с примерно равным весом их широко меняющихся постоянных времени, что приводит к уравнению, приведенному выше для спектральной плотности мощности. Белл (1960) также показал, что различные отклонения спектров мощности от \ (1 / f \, \), в частности, зависимость наклона спектра мощности от конкретного проводника или полупроводника, могут быть объяснены вариациями того, как суммирование возникает или в пределах, в которых это происходит.

        Рисунок 2: Примеры шумов \ (1 / f \). Кривые являются иллюстративными на основе данных из указанных источников. Смежные пары отметок на горизонтальной оси под каждым числом указывают одну декаду частоты.

        Примеры 1 / f-шума

        1 / f шум в твердых телах, конденсированных средах и электронных устройствах

        Низкочастотный шум или фликкер-шум был обнаружен во многих системах и стал горячей темой исследований более восьми десятилетий. Большинство исследований шума \ (1 / f \) проводилось на резисторах, операционных усилителях или другом электронном оборудовании и системах (http: // www. 2} = \ frac {\ alpha _H} {N_Cf}, \]

        где \ (\ alpha _H \) — безразмерная постоянная (параметр Хуге), а \ (N_C \) — количество носителей заряда в проводнике.Хотя эта формулировка оказала влияние и действительно дает полезное приближение к спектру мощности электрического шума во многих материалах, Вайсман (1988) рассмотрел доказательства и аргументы, что она и связанные с ней формулировки не могут привести к правильной общей теории \ (1 / е \) шум. Это связано с тем, что в подходе Хоуге флуктуации связаны с независимыми подвижными носителями заряда, которые не сохраняются в образце материала достаточно долго, чтобы генерировать низкочастотный конец спектра мощности \ (1 / f \).{-6.3} \) Гц (рисунок 2B). Для этого требовалось регистрировать напряжение в течение 3 месяцев, а не 2,5 года, которое можно было бы снизить с помощью различных хитроумных устройств. Он также значительно усовершенствовал процесс вычисления спектра мощности для таких шумов и предложил модель шума \ (1 / f \), аналогичную модели Маквортера (1957).

        Самоорганизованная критичность

        «Самоорганизованная критичность» относится к явлению, при котором диссипативная динамическая система со многими степенями свободы работает вблизи конфигурации с минимальной стабильностью, критической конфигурации, и делает это без какой-либо точной настройки под воздействием внешнего управляющего воздействия.{1+ \ gamma} \ приблизительно s \]

        где \ (\ gamma \) — скорость, с которой событие распространяется по системе. Было обнаружено, что эта конкретная модель и многие ее последователи имеют некоторые тонкие несоответствия, включая путаницу между параметрами порядка и управления, и был разработан более общий подход среднего поля, который исправил большинство этих несоответствий (Vespignani & Zapperi , 1998). Важно отметить, что настоящие, почти одномерные «кучи» рисовых зерен действительно демонстрируют шум \ (1 / f \) (Maslov, Tang & Zhang, 1999).Более того, непрерывная диссипативная версия модели Бака, Танга и Визенфельда (1987) с направленным распространением возмущений четко демонстрирует шум \ (1 / f \) как в 1-, так и в 2-мерной форме (De Los Rios & Zhang, 1999). {\ delta x } \) — характерное время, за которое энергия распространяется к узлу \ (x \) от начала решетки.Таким образом, в этой модели шум \ (1 / f \), характеризующий всю решетку, возникает в результате линейной суперпозиции (некоррелированных) спектров мощности независимых элементов, которые, в свою очередь, состоят из экспонент с диапазоном значений параметров, которые зависят от их расположение в решетке, как и в более ранних моделях, описанных выше.

        Сердце бьется и покачивается

        Один из мостов между неживыми и живыми системами — это наличие розового шума в обеих. Несколько примеров розового шума в живых системах представлены Musha (1981).Временной ряд, состоящий из интервалов между последовательными пиками R (отражающими мышечные сокращения) электрокардиограммы человеческого сердца, имеет спектр мощности приблизительно \ (1 / f \); Наклон логарифмического графика на Рисунке 2C составляет около 1,075 для нескольких десятилетий частоты. Муша (1981) также сообщил об исследовании покачивания человека, стоящего на платформе. Спектральная плотность мощности была приблизительно \ (1 / f \) для частот ниже 1 Гц, а \ (\ alpha \) была немного больше 1 для более высоких частот.Муша правильно считал, что спектр мощности \ (1 / f \) связан с механизмом контроля позы (Lauk, et al. 1998).

        1 / f шум в головном мозге

        Среди живых систем, производящих шум \ (1 / f \), есть мозг. В некоторых исследованиях «шум канала» в нейронах, который, как считается, возникает из-за случайного открытия и закрытия ионных каналов в клеточной мембране, рассматривается как \ (1 / f \. \). Одним из возможных механизмов этого является: модель колебания углеводородных цепей в липидах клеточной мембраны, которая влияет на проводимость ионов калия (Lundström and McQueen 1974).Муша (1981) показал, что ряд флуктуаций плотности времени (обратной скорости передачи) потенциалов действия, движущихся вниз по аксону гигантского кальмара, имеет спектр мощности примерно \ (1 / f \) ниже примерно 10 Гц (рис. 2D). . Новиков и др. (1997) обнаружили, что активность ансамблей нейронов в головном мозге, записанная у расслабленных людей с помощью магнитоэнцефалограммы, показывает спектр мощности \ (1 / f \) (рис. 2E). Спектр логарифма на рисунке 2E имеет наклон -1,03 в диапазоне 0.От 4 до 40 Гц. Записи электроэнцефалограммы также показывают шум \ (1 / f \) в головном мозге. Уорд (2002) описал неопубликованное исследование Макдональда и Уорда (1998), в котором серия больших связанных с событием потенциалов была вызвана 50-миллисекундной тональной вспышкой 1000 Гц с частотой 80 дБ от человека, сидящего в очень тихой ( 35 дБ фоновый шум) шумопоглощающее помещение. Спектр мощности серии, полученной путем выборки записи ЭЭГ в момент времени в период до стимула, и спектр мощности, полученный путем выборки записи ЭЭГ на пике самого раннего компонента потенциала, связанного с негативным событием, были приблизительно \ (1 / f \) (Рисунок 2F).

        Аналогично, Linkenkaer-Hansen at el. (2001) показали, что как МЭГ, так и записи ЭЭГ спонтанной нервной активности у людей отображают \ (1 / f \) — подобные спектры мощности в \ (\ alpha \, \) \ (\ mu \, \) и \ (\ бета \) частотных диапазонов, хотя показатели степени, как правило, были несколько меньше 1 и различались в частотных диапазонах. Они предположили, что наблюдаемое ими степенное масштабирование возникло из-за самоорганизованной критичности, возникающей в нейронных сетях мозга. Однако возможно, что этот вывод необязательно обоснован.Одно недавнее исследование (Bedard et al., 2006) показало, что \ (1 / f \) масштабирование потенциалов локального поля мозга, по-видимому, не связано с критическими состояниями в одновременно регистрируемых нейронах активности, а скорее возникает из-за фильтрации нейронного сигнала через корковая ткань.

        Фондовые рынки и ВНП

        Шум

        \ (1 / f \) в экономических данных обычно изучается как дальнодействующая зависимость или длинная память. Неоднократно было показано, что автокорреляционные функции экономических временных рядов, таких как ряды курсов акций за дни, недели или месяцы или ВНП различных стран за годы, не убывают экспоненциально, как если бы процесс, генерирующий ряды, был простой процесс авторегрессии (AR) (см. Baillie, 1996, для обзора длинной памяти в экономических данных).Вместо этого автокорреляционные функции многих экономических временных рядов достигают ненулевой асимптоты и остаются там на протяжении всего ряда, хотя часто и с низким значением, что указывает на то, что экономические события на некотором расстоянии в прошлом продолжают оказывать влияние на текущие цены или производство. . Такие процессы с длительной памятью обычно моделируются в экономике как процессы дробно-интегрированного белого шума в сочетании с процессами AR (параметр \ (p \)) и скользящего среднего (MA, параметр \ (q \)) для формирования ARFIMA (\ (p, d , q \)) модели, представленные Хоскингом (1981) как модели ARIMA (\ (p, d, q \)) (с интегрирующим параметром \ (d \) разрешено использовать действительное число вместо целого, как это есть в подходе Бокса-Дженкинса), а затем обсуждается в разделе «Определение шума \ (1 / f \).«Но это не единственный возможный подход. Например, Грейнджер (1980) был первым, кто показал, что длинная память может быть результатом агрегации бесконечного числа процессов AR со случайными параметрами, а Грейнджер и Динг (1996) показали, что это может произойти для более реалистичных агрегатов конечного числа процессов AR. В разделе «Математика \ (1 / f \) шума» ниже есть дополнительная информация об агрегировании процессов AR.

        Модель мультипликативного точечного процесса (см. Раздел «Математика шума 1 / f») торговой активности, включая обобщения и расширения модели, объясняющие изменчивость долгосрочной памяти, была предложена Гонтисом и Каулакисом (2004, 2007) .

        Музыка, восприятие времени, память и время реакции

        Восс и Кларк (1975) показали, что спектр мощности для флуктуаций интенсивности в записи Бранденбургского концерта № 1 Баха (рис. 2G) и во многих других случаях записанной музыки и человеческих голосов, слышимых по радио, был приблизительно равен \ ( 1 / f \) примерно за 3 декады частоты. Муша (1981) также резюмировал несколько своих собственных исследований, которые установили, что шум \ (1 / f \) в области пространственной частоты характерен для некоторых мультфильмов и картин, и что чрескожное уменьшение боли более эффективно, когда применяется в соответствии с \ (1 / е \) последовательность.Гилден, Торнтон и Маллон (1995) сообщили о спектрах мощности примерно \ (1 / f \) для временных рядов, состоящих из ошибок, сделанных людьми при оценке различных временных интервалов (рис. 2H). Подобные спектры мощности также были обнаружены для времени реакции человека при выполнении задания на запоминание (Clayton & Frey, 1995), во многих других традиционных задачах, используемых в экспериментальной психологии (Gilden, 1997), в координации касания пальцем с метрономом (Chen, Ding & Kelso, 1997), и даже в простых реакциях обнаружения (Van Orden, Holden and Turvey, 2005).В психологических данных колебания зависимой переменной, которые не могут быть объяснены изменениями независимой (ых) переменной (ей), называются «ошибкой» в смысле остатков линейной регрессии. Обычно считается, что такая ошибка возникает из-за процесса белого шума. Gilden et al. (1995) смоделировали ошибки оценки времени линейной комбинацией шума \ (1 / f \) от внутренних часов и белого шума от моторного процесса, производящего нажатие клавиши. Гилден (1997) распространил эту модель на другие времена реакции и тем самым разделил необъяснимые флуктуации зависимой переменной или ошибку на две составляющие \ [1 / f \] и белый.Он обнаружил, что значительная часть остаточной ошибки составляет \ (1 / f \. \). Уорд и Ричард (описанные в Ward, 2002) смоделировали шумовую составляющую \ (1 / f \) путем объединения трех процессов AR (1). с различными параметрами и показали, что манипуляция нагрузкой принятия решения в задаче классификации, которая изменяет наклон спектра мощности, больше всего влияет на процесс со средним параметром.

        Математика 1 / f-шума

        Хотя \ (1 / f \) шум появляется во многих природных системах, как обобщено выше, и интенсивно изучается в течение десятилетий с многочисленными попытками описать это явление математически, исследователи до сих пор не смогли прийти к единому объяснению.{2 (1- \ beta)}}. \]

        Когда \ (\ beta = 1/2 \, \), мы получаем \ (S (f) \ приблизительно1 / f \) (Lowen & Teich 2005).

        Точечный процесс Пуассона с кластеризацией

        Другой пример, основанный на точечном процессе Пуассона, — это кластеризация Пуассона. К каждой точке Пуассона \ (t_k \, \) присоединяется дополнительный набор точек, называемый кластером, который располагается после нее; кластеры могут перекрывать друг друга. Число точек в каждом кластере \ (m \, \) — это случайная величина, распределение которой \ (p_m \, \) сосредоточено на конечном наборе целых чисел.2 \) получаем \ (S (f) \ propto1 / f \) (Gruneis & Musha 1986). Несколько другая формулировка — это процесс стробирования, при котором кластеры не перекрываются. Здесь точечный процесс Пуассона умножается на процесс стробирования, который равен 1 на случайном интервале, затем 0 на случайном интервале и так далее. Чтобы получить шум \ (1 / f \), пусть интервалы 1 будут распределены экспоненциально, а интервалы 0 распределены геометрически, или наоборот. Затем примерно такие же вычисления, как только что обобщенные, дают приближение \ (1 / f \) (Gruneis 2001).Обратите внимание, что для процессов дробового шума, процессов кластера и стробирования, а также агрегации AR (1) вычисление спектральной плотности мощности дает сумму лоренцевых или лоренцевых функций.

        Повторяющиеся модели

        Недавно были предложены и обобщены модели точечных стохастических процессов шума \ (1 / f \) (Каулакис и Мешкаускас, 1998) (Каулакис и др., 2005). В этих моделях сигнал состоит из импульсов или событий.

        \ [x (t) = a \ sum_k \ delta (t-t_k). \]

        Здесь \ (\ delta (t) \) — дельта-функция Дирака, \ (\ {t_k \} \) — это набор моментов времени, когда частицы или импульсы пересекают сечение наблюдения, а \ (a \) — вклад в сигнал одного импульса или частицы.{\ mu} \ varepsilon _ {k}, \]

        , где \ (\ epsilon_k \) — i.i.d. Гауссов шум, \ (\ gamma \) очень мал, и \ (\ sigma \, \) стандартное отклонение шума также мало, в то время как \ (\ mu \) представляет степень мультипликативности процесса. 2 \) на длинном интервале, когда \ (\ gamma \) мало, и, следовательно, этот спектр мощности не такой, как у точечного процесса (чьи точки \ (t_k \) генерируют временной ряд) на этом интервале.2 & \ textrm {if} \ 1- \ theta_ {min} \ ll f \ ll 1 \ end {array} \ right. \. \]

        (Эрланд и Гринвуд 2007). Также обратите внимание, что \ (S_m (f) \) является лоренцевой функцией.

        Если коэффициенты \ (\ theta_m \) в процессах AR (1) равномерно распределены \ ((\ alpha = 1) \, \), можно получить хорошее приближение шума \ (1 / f \) просто путем усреднения индивидуальная серия. Это соответствует классическому результату о том, что спектр мощности однородной смеси экспоненциально убывающих автокорреляционных функций имеет форму \ (1 / f \) (Bell, 1960).\ alpha \, \) собирать или моделировать данные, относящиеся к модели, а затем оценивать параметр \ (\ alpha \) с помощью линейной регрессии или другого подобного метода (Pilgram & Kaplan, 1998) на основе логарифмически преобразованного спектра мощности данных. . Чаще всего физики (такие как Bell, 1960), биологи, инженеры, психологи и т. Д. Замечают, нанося спектр мощности на логарифмический график, что шум, производимый в конкретной экспериментальной ситуации, равен \ (1 / f \) — вроде. Затем они приступили, часто в отсутствие конкретной модели, к оценке \ (\ alpha \) с использованием линейной аппроксимации.Они также часто проверяют эту оценку против нулевой гипотезы \ (\ alpha = 0 \) или \ (\ alpha = 1 \. \)

        Если кто-то имеет в виду конкретную модель, например, одну из описанных в предыдущем разделе, лучшей процедурой будет оценка параметров этой модели на основе собственных данных и определение того, подразумевают ли эти оценки \ (1 / f \) шум в контексте этой модели. Это может быть трудно выполнить из-за отсутствия соответствующей схемы оценки. Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) предложили в контексте оценки наличия долгосрочной зависимости и / или шума \ (1 / f \) в психологических данных, что в отсутствие модели можно использовать схему, основанную на по оценке параметров модели, в которой свойство \ (1 / f \) возникает из-за дробно-разностного белого шума (Beran, 1994).Это модель ARFIMA (Hosking, 1981), где AR обозначает авторегрессивный процесс, MA обозначает процесс скользящего среднего, а FI обозначает частично интегрированный процесс белого шума. В схеме Wagenmakers et al. (2004) модель ARMA (1,1) тестируется против модели ARFIMA (1, \ (d \, \) 1), где \ (d \) — показатель степени оператора дробного разложения. Тест проводится с помощью процедуры, основанной на информационном критерии Акаике (AIC) (Akaike, 1974; Burnham, Anderson, 2002).k, \]

        где \ (B \) — оператор обратного сдвига, определенный в последовательности \ (X_t \) как \ (BX_t = X_ {t-1} \, \), а \ (d \) — параметр дробной разности. Модель ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) строится, сначала применяя оператор дробного разложения к шуму, \ (\ epsilon_t \, \), а затем используя полученный шум для построения процесса ARMA. Если \ (d \) может принимать только целые значения, у нас есть модель ARIMA, которая не отображает шум \ (1 / f \) для малых значений \ (p \) и \ (q \.{2d}}, \]

        и если \ (0 \ le d \ le 1/2 \, \), то процесс называется стационарным с дальнодействующей зависимостью. Если \ (d = 1/2 \), то спектр мощности в точности равен \ (1 / f \. \). Процедура Wagenmakers et al. (2004) использует алгоритм Doornik and Ooms (2003) для оценки \ (\ hat {d}, \) \ (\ hat {\ theta_1}, \) и \ (\ hat {\ phi_1} \) для временного ряда и на основе этих оценок проверяет ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) модель против модели ARMA (1,1). Считается, что предпочтение модели ARFIMA указывает на наличие дальнодействующей зависимости и шума \ (1 / f \) во временном ряду.\ alpha \) в связанном точечном процессе.

        Есть и другие подходы к описанию данных временных рядов способами, относящимися к шуму \ (1 / f \). К ним относятся анализ масштабированного диапазона (например, Chen, Ding & Kelso, 1997) и показатель Херста (например, Schroeder, 1991), которые оба включают оценку параметров, связанных с показателем степени спектра мощности, \ (\ alpha \. \) Например, для показателя Херста \ (H = (1+ \ alpha) / 2 \. \). Анализ данных временного ряда с нескольких точек зрения дает очевидные преимущества, но канонической процедуры пока не существует.

        Список литературы

        • Акаике Х. (1974) Новый взгляд на идентификацию статистической модели. IEEE Transactions on Automatic Control, 19: 716-723.
        • Baillie R.T. (1996) Процессы с длительной памятью и дробная интеграция в эконометрике. J. Economet., 73: 5-59.
        • Бак П. Тан К. Визенфельд К. (1987) Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1 / f. Phys. Rev. Lett., 59: 381–384.
        • Bedard C. Kroger H. Destexhe A. (2006) Отражает ли частотное масштабирование сигналов мозга 1 / f самоорганизованные критические состояния? Phys.Rev. Lett., 97: 118102.
        • Белл Д.А. (1960) Электрический шум. Лондон: Ван Ностранд.
        • Беран Дж. (1994). Статистика для процессов с длинной памятью. Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
        • Бернамонт Дж. (1937) Колебания потенциала вспомогательного металлического проводника по объему, паркуру по номиналу. Аня. Phys. (Лейпциг), 7: 71-140.
        • Бернхэм К. П. Андерсон Д. Р. (2002). Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход.\ alpha \) type) в координации человека. Phys. Rev. Lett., 79: 4501-4504.
        • Клейтон К. Фрей Б. (1997) Исследования ментального «шума». Нелин. Dynam. Psychol. Life Sci., 1: 173–180.
        • Калояннидес М.А. (1974) Микроцикловые спектральные оценки 1 / f-шума в полупроводниках. J. Appl. Phys., 45: 307—316.
        • Де Лос Риос П. Чжан-И-К. (1999) Универсальный 1 / f-шум из моделей диссипативной самоорганизованной критичности. Phys. Rev. Lett., 82: 472-475.
        • Доорник Я.А. и Оомс М.\ alpha \) шум от обратимых цепей Маркова. Phys. Ред. E, 76:
        • Гилден Д.Л. (1997) Колебания времени, необходимого для принятия элементарных решений. Psychol. Sci., 8: 296-301.
        • Гилден Д.Л. Торнтон Т. Мэллон М.В. (1995) 1 / f-шум в человеческом познании. Наука, 267: 1837-1839.
        • Гонтис В. Каулакис Б. (2004) Мультипликативный точечный процесс как модель торговой деятельности. Physica A, 343: 505-514; конд-мат / 0303089.
        • Гонтис В. Каулакис Б. (2007) Моделирование торговой активности с долгосрочной памятью с помощью стохастических дифференциальных уравнений.Physica A, 382 (1): 114-120; физика / 0608036.
        • Granger C.W.J. (1980) Отношения с длительной памятью и агрегирование динамических моделей. J. Economet., 14: 227-238.
        • Granger C.W.J. Дин З. (1996) Разновидности моделей с длинной памятью. J. Economet., 73: 61—77.
        • Gruneis F. (2001) 1 / f-шум, перемежаемость и кластеризация Пуассоновский процесс. Fluct. Noise Lett., 1: R119 — R130.
        • Gruneis F. Musha T. (1986) Кластеризация пуассоновского процесса и 1 / f-шума. Яп. J. Applied Phys., 25: 1504—1509.
        • Хоуге Ф. Н. (1976) 1 / ф шумы. Physica A&C, 83: 14-23.
        • Hooge F. N., Kleinpenning T. G. M., Vandamme L. K. J. (1981) Экспериментальные исследования 1 / f-шума. Rep. Prog. Phys., 44: 479-532.
        • Hooge F. N. (1994) 1 / f-источники шума. IEEE Trans. Электрон. Девич., 41: 1926-1935.
        • Hosking J.R.M. (1981) Дробное разложение. Биометрика, 68: 165-176.
        • Джонсон Дж. Б. (1925) Эффект Шоттки в низкочастотных цепях. Phys. Ред., 26: 71-85.
        • Каулакис Б. Мешкаускас Т. (1998) Моделирование 1 / f-шума. Phys. Откровение E, 58: 7013-7019.
        • Каулакис Б. Гонтис В. Алабурда М. (2005) Модель точечного процесса 1 / f-шума в сравнении с суммой лоренцевых. Phys. Rev. E, 71: 051105; конд-мат / 0504025.
        • Каулакис Б. Русецкас Дж. Гонтис В. Алабурда М. (2006) Нелинейные стохастические модели 1 / f-шума и степенные распределения. Physica A, 365: 217-221; конд-мат / 0509626.
        • Коган С. М. (1985) 1 / f-шум тока низкой частоты в твердых телах.Успехи физических наук, 145: 285-328; Сов. Phys. Усп. 28: 170.
        • Лаук М. Чоу C.C. Павлик А.Э. Коллинз Дж. Дж. (1998) Человеческий баланс из равновесия: неравновесная статистическая механика в контроле позы. Phys. Rev. Lett., 80: 413-416.
        • Линкенкаер-Хансен, К. Никулин, В.В. Palva, J.M. Ilmoniemi, R.J. (2001). Долгосрочные временные корреляции и масштабное поведение в колебаниях человеческого мозга. J. Neurosci., 21: 1370-1377.
        • Lowen, B. & Teich, M.C. 2005 Точечные процессы, основанные на фрактале.Хобокен, Нью-Джерси: Уайли.
        • Lundström I. McQueen D. (1974) Предложенный механизм шума 1 / f в мембранах нервных клеток. J. Теорет. Биол., 45: 405-409.
        • Мандельброт Б. (1998) Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике. Нью-Йорк: Спрингер.
        • Маслов С. Тан К. Чжан Ю.С. (1999) 1 / f-шум в моделях Бак-Танга-Визенфельда на узких полосах. Phys. Rev. Lett., 83: 2449—2452.
        • McWhorter A. L. (1957) 1 / f-шум и свойства поверхности германия. В физике поверхности полупроводников, под редакцией Р.Х. Кингстон, Пенсильванский университет, Филадельфия, стр. 207-228.
        • Милотти, Э. (2002) Педагогический обзор 1 / f-шума. Препринт Arxiv по физике / 0204033, 2002 — arxiv.org.
        • Муша Т. (1981) 1 / ф колебания в биологических системах. В P.H.E. Мейер, Р.Д. Маунтин и Р.Дж. Сулен младший (ред.), Шестая международная конференция по шуму в физических системах (стр. 143–146). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США и Национальное бюро стандартов.
        • Новиков Е. Новиков А.Шаннахофф-Халса Д. Шварц Б. Райт Дж. (1997) Масштабная активность мозга. Phys. Ред. E, 56: R2387-R2389.
        • Пилграм, Б. Каплан, Д.Т. (1998) Сравнение оценок для шума 1 / f. Physica D, 114: 108-122.
        • Press W. H. 1978 Мерцающие шумы в астрономии и других местах. Комментарии о астрофизике, 7: 103-119.
        • Schottky W. (1918) Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern. Аня. дер Phys., 57: 541-567.
        • Шоттки В. (1926) Эффект мелкого выстрела и эффект мерцания.Phys. Rev., 28: 74-103.
        • Шредер М. (1991) Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая. Нью-Йорк: Фриман.
        • Ван Орден Г.Дж. Холден Дж. Турви М.Т. (2005) Человеческое познание и масштабирование 1 / f. J. Exper. Психол .: Быт., 132: 331-350.
        • Ван Влит К. М. (1991) Обзор результатов и будущих перспектив квантового 1 / f-шума и 1 / f-шума в целом. Твердотельная электроника, 34: 1—21.
        • Веспиньяни А. Заппери С. (1998) Как работает самоорганизованная критичность.\ альфа \) шум в человеческом познании. Психоном. Бык. Rev., 11: 579-615.
        • Вайсман М. Б. (1988) 1 / f-шум и другая медленная неэкспоненциальная кинетика в конденсированных средах. Ред. Мод. Phys., 60: 537—571.
        • Уорд Л.М. (2002) Динамическая когнитивная наука. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
        • Вест Б. Дж. Шлезингер М.Ф. (1990) Шум в природных явлениях, American Scientist, 78: 40-45.
        • Вонг Х. (2003) Исследование низкочастотного шума в электронных устройствах: обзор и обновление. Микроэлектрон.Достоверн., 43: 585-599.
        • Жигальский Г. П. (1997) 1 / f-шум и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках. Успехи физических наук, 167: 623-648; Phys. Усп., 40, 599.

        Внутренние ссылки

        • Ян А. Сандерс (2006) Усреднение. Академия наук, 1 (11): 1760.
        • Валентино Брайтенберг (2007) Мозг. Академия наук, 2 (11): 2918.
        • Ижикевич Евгений Михайлович (2006) Взрыв. Академия наук, 1 (3): 1300.
        • Грегуар Николис и Катрин Рувас-Николис (2007) Сложные системы.Scholarpedia, 2 (11): 1473.
        • Джеймс Мейсс (2007) Динамические системы. Scholarpedia, 2 (2): 1629.
        • Пол Л. Нуньес и Рамеш Сринивасан (2007) Электроэнцефалограмма. Академия наук, 2 (2): 1348.
        • Марк Аронофф (2007) Язык. Академия наук, 2 (5): 3175.
        • Джефф Мохлис, Кресимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. Академия наук, 1 (7): 1358.
        • Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (2006) Стабильность. Академия наук, 1 (10): 1838.

        Внешние ссылки

        • 1 / f noise, Википедия [1]
        • Розовый шум, Википедия [2]
        • Библиография по шуму 1 / f [3]
        • Буквы флуктуации и шума (FNL) [4]
        • Генерация DSP розового (1 / f) шума [5]
        • Ассоциация науки, искусства и технологий колебаний: ASATeF [6]
        • Вариация Аллана [7]
        • Лаборатория надежности и контроля шума [8]
        • Анализатор спектра с вейвлет-преобразованием в реальном времени для исследования шума 1 / f α [9]
        • ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ КВАНТОВОГО 1 / f ШУМА, стр. \ alpha \, \]

          где \ (f \) — частота на интервале, ограниченном как нулем, так и бесконечностью.{\ alpha} \) (с \ (0.5 \ lesssim \ alpha \ lesssim 1.5 \)) поведение спектров мощности на низких частотах \ (f \) наблюдали в физике, технологии, биологии, астрофизике, геофизике, экономике, психологии. , язык и даже музыка (см. обзоры Press 1978, Hooge et al. 1981, Dutta and Horn 1981, Kogan 1985, Weissman 1988, West and Shlesinger 1990, Van Vliet 1991, Жигальский 1997, Milotti 2002 и Wong 2003).

          Введение

          Шум

          \ (1 / f \) является промежуточным звеном между хорошо изученным белым шумом без корреляции во времени и шумом случайного блуждания (броуновское движение) без корреляции между приращениями.Броуновское движение является интегралом белого шума, и интегрирование сигнала увеличивает показатель \ (\ alpha \) на 2, тогда как обратная операция дифференцирования уменьшает его на 2. Следовательно, \ (1 / f \) шум не может быть получен простой процедурой интегрирования или дифференцирования таких удобных сигналов. Более того, не существует простых, даже линейных стохастических дифференциальных уравнений, генерирующих сигналы с шумом \ (1 / f \). Широкое распространение сигналов, демонстрирующих такое поведение, предполагает, что может существовать общее математическое объяснение.Однако, за исключением некоторых формальных математических описаний, таких как дробное броуновское движение , (половинный интеграл сигнала белого шума), общепризнанного физического объяснения шума \ (1 / f \) предложено не было. Следовательно, повсеместное распространение шума \ (1 / f \) — одна из самых старых загадок современной физики и науки в целом.

          Случай \ (\ alpha = 1 \, \) или розовый шум является каноническим случаем, и наиболее интересная, но более общая форма, где \ (0 <\ alpha \ leq 3 \, \) иногда обозначается просто как \ (1 / f \.\ alpha \) шум представляет интерес, потому что он встречается во многих различных системах, как в мире природы, так и в искусственных процессах.

          Выражение «дальнодействующая зависимость», иногда используемое для обозначения шума \ (1 / f \), также использовалось в различных контекстах с несколько другими значениями. Так же иногда используются «долгая память» и другие варианты. Например, Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) использовали выражения «дальнодействующая зависимость» и \ (1 / f \) шум как синонимы.С другой стороны, в работе Грейнджера и Динга (1988) некоторые модели длинной памяти изучаются в окрестности \ (f = 0 \. \). Но наборы данных конечны, и сколь угодно малые \ (f \) не могут быть реализованным. По этой причине мы ограничиваем наше обсуждение поведением вне окрестности \ (f = 0 \. \)

          Часто открытие шума \ (1 / f \) в системе подразумевает существование какой-то другой специальной структуры, такой как самоорганизованная критичность или мультипликативный шум. Этот вывод необоснован, поскольку наше обсуждение различных моделей и их контекстов станет ясным.{\ alpha} \) спектр мощности — прямая линия, наклон которой \ (- \ alpha \, \) легко оценить. Ясно, что для таких природных систем, наблюдаемых людьми, нельзя зарегистрировать ни сколь угодно малые, ни сколь угодно большие частоты. Ниже мы описываем выборку моделей, которые имеют отношение к таким физически вероятным ситуациям.

          Рисунок 1: Слева: цветовая кодировка временных рядов различных шумов. Справа: соответствующие спектры мощности шумов.

          Ранняя история

          Шум

          \ (1 / f \) был обнаружен Джонсоном (1925) в данных эксперимента, предназначенного для проверки теории дробового шума Шоттки (1918) в электронных лампах (рис. 2А).2 \) для больших \ (f \, \) с узкой переходной областью, где спектр мощности напоминает спектр фликкер-шума, обнаруженный Джонсоном. Форма выражения Шоттки для спектра мощности называется «лоренцевой». Подробнее о лоренцевой форме будет сказано в разделе «Математика шума \ (1 / f \)». Бернамонт (1937) указал, что необходима суперпозиция таких процессов с различными скоростями релаксации, \ (\ lambda \. 2} & \ textrm {if} \ 0 \ ll \ lambda_1 \ ll \ lambda_2 \ ll f \ end {array} \ right.\. \]

          Другими словами, \ (S (f) \) пропорционален \ (1 / f \) для \ (\ lambda_1 \ ll f \ ll \ lambda_2 \. \). Несколько позже McWhorter (1957) разработал более сложный модель, в которой шум объяснялся захватом и удалением поверхностных состояний.

          В отход от предыдущих теорий, которые подчеркивали физические свойства, Белл (1960) предположил, что такой шум является кооперативным явлением, возникающим из статистики очереди электронов, протекающих по проводу.Согласно теории Белла, электроны, текущие по проводу, случайным образом колеблются между связанным и возбужденным состояниями, выстраиваясь в очередь для доступа к узлам на атомах провода. Распределение вероятностей времени ожидания в очереди для зоны проводимости возбужденных свободных электронов, текущих по проводу, представляет собой суперпозицию экспоненциальных распределений с примерно равным весом их широко меняющихся постоянных времени, что приводит к уравнению, приведенному выше для спектральной плотности мощности. Белл (1960) также показал, что различные отклонения спектров мощности от \ (1 / f \, \), в частности, зависимость наклона спектра мощности от конкретного проводника или полупроводника, могут быть объяснены вариациями того, как суммирование возникает или в пределах, в которых это происходит.

          Рисунок 2: Примеры шумов \ (1 / f \). Кривые являются иллюстративными на основе данных из указанных источников. Смежные пары отметок на горизонтальной оси под каждым числом указывают одну декаду частоты.

          Примеры 1 / f-шума

          1 / f шум в твердых телах, конденсированных средах и электронных устройствах

          Низкочастотный шум или фликкер-шум был обнаружен во многих системах и стал горячей темой исследований более восьми десятилетий. Большинство исследований шума \ (1 / f \) проводилось на резисторах, операционных усилителях или другом электронном оборудовании и системах (http: // www. 2} = \ frac {\ alpha _H} {N_Cf}, \]

          где \ (\ alpha _H \) — безразмерная постоянная (параметр Хуге), а \ (N_C \) — количество носителей заряда в проводнике.Хотя эта формулировка оказала влияние и действительно дает полезное приближение к спектру мощности электрического шума во многих материалах, Вайсман (1988) рассмотрел доказательства и аргументы, что она и связанные с ней формулировки не могут привести к правильной общей теории \ (1 / е \) шум. Это связано с тем, что в подходе Хоуге флуктуации связаны с независимыми подвижными носителями заряда, которые не сохраняются в образце материала достаточно долго, чтобы генерировать низкочастотный конец спектра мощности \ (1 / f \).{-6.3} \) Гц (рисунок 2B). Для этого требовалось регистрировать напряжение в течение 3 месяцев, а не 2,5 года, которое можно было бы снизить с помощью различных хитроумных устройств. Он также значительно усовершенствовал процесс вычисления спектра мощности для таких шумов и предложил модель шума \ (1 / f \), аналогичную модели Маквортера (1957).

          Самоорганизованная критичность

          «Самоорганизованная критичность» относится к явлению, при котором диссипативная динамическая система со многими степенями свободы работает вблизи конфигурации с минимальной стабильностью, критической конфигурации, и делает это без какой-либо точной настройки под воздействием внешнего управляющего воздействия.{1+ \ gamma} \ приблизительно s \]

          где \ (\ gamma \) — скорость, с которой событие распространяется по системе. Было обнаружено, что эта конкретная модель и многие ее последователи имеют некоторые тонкие несоответствия, включая путаницу между параметрами порядка и управления, и был разработан более общий подход среднего поля, который исправил большинство этих несоответствий (Vespignani & Zapperi , 1998). Важно отметить, что настоящие, почти одномерные «кучи» рисовых зерен действительно демонстрируют шум \ (1 / f \) (Maslov, Tang & Zhang, 1999).Более того, непрерывная диссипативная версия модели Бака, Танга и Визенфельда (1987) с направленным распространением возмущений четко демонстрирует шум \ (1 / f \) как в 1-, так и в 2-мерной форме (De Los Rios & Zhang, 1999). {\ delta x } \) — характерное время, за которое энергия распространяется к узлу \ (x \) от начала решетки.Таким образом, в этой модели шум \ (1 / f \), характеризующий всю решетку, возникает в результате линейной суперпозиции (некоррелированных) спектров мощности независимых элементов, которые, в свою очередь, состоят из экспонент с диапазоном значений параметров, которые зависят от их расположение в решетке, как и в более ранних моделях, описанных выше.

          Сердце бьется и покачивается

          Один из мостов между неживыми и живыми системами — это наличие розового шума в обеих. Несколько примеров розового шума в живых системах представлены Musha (1981).Временной ряд, состоящий из интервалов между последовательными пиками R (отражающими мышечные сокращения) электрокардиограммы человеческого сердца, имеет спектр мощности приблизительно \ (1 / f \); Наклон логарифмического графика на Рисунке 2C составляет около 1,075 для нескольких десятилетий частоты. Муша (1981) также сообщил об исследовании покачивания человека, стоящего на платформе. Спектральная плотность мощности была приблизительно \ (1 / f \) для частот ниже 1 Гц, а \ (\ alpha \) была немного больше 1 для более высоких частот.Муша правильно считал, что спектр мощности \ (1 / f \) связан с механизмом контроля позы (Lauk, et al. 1998).

          1 / f шум в головном мозге

          Среди живых систем, производящих шум \ (1 / f \), есть мозг. В некоторых исследованиях «шум канала» в нейронах, который, как считается, возникает из-за случайного открытия и закрытия ионных каналов в клеточной мембране, рассматривается как \ (1 / f \. \). Одним из возможных механизмов этого является: модель колебания углеводородных цепей в липидах клеточной мембраны, которая влияет на проводимость ионов калия (Lundström and McQueen 1974).Муша (1981) показал, что ряд флуктуаций плотности времени (обратной скорости передачи) потенциалов действия, движущихся вниз по аксону гигантского кальмара, имеет спектр мощности примерно \ (1 / f \) ниже примерно 10 Гц (рис. 2D). . Новиков и др. (1997) обнаружили, что активность ансамблей нейронов в головном мозге, записанная у расслабленных людей с помощью магнитоэнцефалограммы, показывает спектр мощности \ (1 / f \) (рис. 2E). Спектр логарифма на рисунке 2E имеет наклон -1,03 в диапазоне 0.От 4 до 40 Гц. Записи электроэнцефалограммы также показывают шум \ (1 / f \) в головном мозге. Уорд (2002) описал неопубликованное исследование Макдональда и Уорда (1998), в котором серия больших связанных с событием потенциалов была вызвана 50-миллисекундной тональной вспышкой 1000 Гц с частотой 80 дБ от человека, сидящего в очень тихой ( 35 дБ фоновый шум) шумопоглощающее помещение. Спектр мощности серии, полученной путем выборки записи ЭЭГ в момент времени в период до стимула, и спектр мощности, полученный путем выборки записи ЭЭГ на пике самого раннего компонента потенциала, связанного с негативным событием, были приблизительно \ (1 / f \) (Рисунок 2F).

          Аналогично, Linkenkaer-Hansen at el. (2001) показали, что как МЭГ, так и записи ЭЭГ спонтанной нервной активности у людей отображают \ (1 / f \) — подобные спектры мощности в \ (\ alpha \, \) \ (\ mu \, \) и \ (\ бета \) частотных диапазонов, хотя показатели степени, как правило, были несколько меньше 1 и различались в частотных диапазонах. Они предположили, что наблюдаемое ими степенное масштабирование возникло из-за самоорганизованной критичности, возникающей в нейронных сетях мозга. Однако возможно, что этот вывод необязательно обоснован.Одно недавнее исследование (Bedard et al., 2006) показало, что \ (1 / f \) масштабирование потенциалов локального поля мозга, по-видимому, не связано с критическими состояниями в одновременно регистрируемых нейронах активности, а скорее возникает из-за фильтрации нейронного сигнала через корковая ткань.

          Фондовые рынки и ВНП

          Шум

          \ (1 / f \) в экономических данных обычно изучается как дальнодействующая зависимость или длинная память. Неоднократно было показано, что автокорреляционные функции экономических временных рядов, таких как ряды курсов акций за дни, недели или месяцы или ВНП различных стран за годы, не убывают экспоненциально, как если бы процесс, генерирующий ряды, был простой процесс авторегрессии (AR) (см. Baillie, 1996, для обзора длинной памяти в экономических данных).Вместо этого автокорреляционные функции многих экономических временных рядов достигают ненулевой асимптоты и остаются там на протяжении всего ряда, хотя часто и с низким значением, что указывает на то, что экономические события на некотором расстоянии в прошлом продолжают оказывать влияние на текущие цены или производство. . Такие процессы с длительной памятью обычно моделируются в экономике как процессы дробно-интегрированного белого шума в сочетании с процессами AR (параметр \ (p \)) и скользящего среднего (MA, параметр \ (q \)) для формирования ARFIMA (\ (p, d , q \)) модели, представленные Хоскингом (1981) как модели ARIMA (\ (p, d, q \)) (с интегрирующим параметром \ (d \) разрешено использовать действительное число вместо целого, как это есть в подходе Бокса-Дженкинса), а затем обсуждается в разделе «Определение шума \ (1 / f \).«Но это не единственный возможный подход. Например, Грейнджер (1980) был первым, кто показал, что длинная память может быть результатом агрегации бесконечного числа процессов AR со случайными параметрами, а Грейнджер и Динг (1996) показали, что это может произойти для более реалистичных агрегатов конечного числа процессов AR. В разделе «Математика \ (1 / f \) шума» ниже есть дополнительная информация об агрегировании процессов AR.

          Модель мультипликативного точечного процесса (см. Раздел «Математика шума 1 / f») торговой активности, включая обобщения и расширения модели, объясняющие изменчивость долгосрочной памяти, была предложена Гонтисом и Каулакисом (2004, 2007) .

          Музыка, восприятие времени, память и время реакции

          Восс и Кларк (1975) показали, что спектр мощности для флуктуаций интенсивности в записи Бранденбургского концерта № 1 Баха (рис. 2G) и во многих других случаях записанной музыки и человеческих голосов, слышимых по радио, был приблизительно равен \ ( 1 / f \) примерно за 3 декады частоты. Муша (1981) также резюмировал несколько своих собственных исследований, которые установили, что шум \ (1 / f \) в области пространственной частоты характерен для некоторых мультфильмов и картин, и что чрескожное уменьшение боли более эффективно, когда применяется в соответствии с \ (1 / е \) последовательность.Гилден, Торнтон и Маллон (1995) сообщили о спектрах мощности примерно \ (1 / f \) для временных рядов, состоящих из ошибок, сделанных людьми при оценке различных временных интервалов (рис. 2H). Подобные спектры мощности также были обнаружены для времени реакции человека при выполнении задания на запоминание (Clayton & Frey, 1995), во многих других традиционных задачах, используемых в экспериментальной психологии (Gilden, 1997), в координации касания пальцем с метрономом (Chen, Ding & Kelso, 1997), и даже в простых реакциях обнаружения (Van Orden, Holden and Turvey, 2005).В психологических данных колебания зависимой переменной, которые не могут быть объяснены изменениями независимой (ых) переменной (ей), называются «ошибкой» в смысле остатков линейной регрессии. Обычно считается, что такая ошибка возникает из-за процесса белого шума. Gilden et al. (1995) смоделировали ошибки оценки времени линейной комбинацией шума \ (1 / f \) от внутренних часов и белого шума от моторного процесса, производящего нажатие клавиши. Гилден (1997) распространил эту модель на другие времена реакции и тем самым разделил необъяснимые флуктуации зависимой переменной или ошибку на две составляющие \ [1 / f \] и белый.Он обнаружил, что значительная часть остаточной ошибки составляет \ (1 / f \. \). Уорд и Ричард (описанные в Ward, 2002) смоделировали шумовую составляющую \ (1 / f \) путем объединения трех процессов AR (1). с различными параметрами и показали, что манипуляция нагрузкой принятия решения в задаче классификации, которая изменяет наклон спектра мощности, больше всего влияет на процесс со средним параметром.

          Математика 1 / f-шума

          Хотя \ (1 / f \) шум появляется во многих природных системах, как обобщено выше, и интенсивно изучается в течение десятилетий с многочисленными попытками описать это явление математически, исследователи до сих пор не смогли прийти к единому объяснению.{2 (1- \ beta)}}. \]

          Когда \ (\ beta = 1/2 \, \), мы получаем \ (S (f) \ приблизительно1 / f \) (Lowen & Teich 2005).

          Точечный процесс Пуассона с кластеризацией

          Другой пример, основанный на точечном процессе Пуассона, — это кластеризация Пуассона. К каждой точке Пуассона \ (t_k \, \) присоединяется дополнительный набор точек, называемый кластером, который располагается после нее; кластеры могут перекрывать друг друга. Число точек в каждом кластере \ (m \, \) — это случайная величина, распределение которой \ (p_m \, \) сосредоточено на конечном наборе целых чисел.2 \) получаем \ (S (f) \ propto1 / f \) (Gruneis & Musha 1986). Несколько другая формулировка — это процесс стробирования, при котором кластеры не перекрываются. Здесь точечный процесс Пуассона умножается на процесс стробирования, который равен 1 на случайном интервале, затем 0 на случайном интервале и так далее. Чтобы получить шум \ (1 / f \), пусть интервалы 1 будут распределены экспоненциально, а интервалы 0 распределены геометрически, или наоборот. Затем примерно такие же вычисления, как только что обобщенные, дают приближение \ (1 / f \) (Gruneis 2001).Обратите внимание, что для процессов дробового шума, процессов кластера и стробирования, а также агрегации AR (1) вычисление спектральной плотности мощности дает сумму лоренцевых или лоренцевых функций.

          Повторяющиеся модели

          Недавно были предложены и обобщены модели точечных стохастических процессов шума \ (1 / f \) (Каулакис и Мешкаускас, 1998) (Каулакис и др., 2005). В этих моделях сигнал состоит из импульсов или событий.

          \ [x (t) = a \ sum_k \ delta (t-t_k). \]

          Здесь \ (\ delta (t) \) — дельта-функция Дирака, \ (\ {t_k \} \) — это набор моментов времени, когда частицы или импульсы пересекают сечение наблюдения, а \ (a \) — вклад в сигнал одного импульса или частицы.{\ mu} \ varepsilon _ {k}, \]

          , где \ (\ epsilon_k \) — i.i.d. Гауссов шум, \ (\ gamma \) очень мал, и \ (\ sigma \, \) стандартное отклонение шума также мало, в то время как \ (\ mu \) представляет степень мультипликативности процесса. 2 \) на длинном интервале, когда \ (\ gamma \) мало, и, следовательно, этот спектр мощности не такой, как у точечного процесса (чьи точки \ (t_k \) генерируют временной ряд) на этом интервале.2 & \ textrm {if} \ 1- \ theta_ {min} \ ll f \ ll 1 \ end {array} \ right. \. \]

          (Эрланд и Гринвуд 2007). Также обратите внимание, что \ (S_m (f) \) является лоренцевой функцией.

          Если коэффициенты \ (\ theta_m \) в процессах AR (1) равномерно распределены \ ((\ alpha = 1) \, \), можно получить хорошее приближение шума \ (1 / f \) просто путем усреднения индивидуальная серия. Это соответствует классическому результату о том, что спектр мощности однородной смеси экспоненциально убывающих автокорреляционных функций имеет форму \ (1 / f \) (Bell, 1960).\ alpha \, \) собирать или моделировать данные, относящиеся к модели, а затем оценивать параметр \ (\ alpha \) с помощью линейной регрессии или другого подобного метода (Pilgram & Kaplan, 1998) на основе логарифмически преобразованного спектра мощности данных. . Чаще всего физики (такие как Bell, 1960), биологи, инженеры, психологи и т. Д. Замечают, нанося спектр мощности на логарифмический график, что шум, производимый в конкретной экспериментальной ситуации, равен \ (1 / f \) — вроде. Затем они приступили, часто в отсутствие конкретной модели, к оценке \ (\ alpha \) с использованием линейной аппроксимации.Они также часто проверяют эту оценку против нулевой гипотезы \ (\ alpha = 0 \) или \ (\ alpha = 1 \. \)

          Если кто-то имеет в виду конкретную модель, например, одну из описанных в предыдущем разделе, лучшей процедурой будет оценка параметров этой модели на основе собственных данных и определение того, подразумевают ли эти оценки \ (1 / f \) шум в контексте этой модели. Это может быть трудно выполнить из-за отсутствия соответствующей схемы оценки. Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) предложили в контексте оценки наличия долгосрочной зависимости и / или шума \ (1 / f \) в психологических данных, что в отсутствие модели можно использовать схему, основанную на по оценке параметров модели, в которой свойство \ (1 / f \) возникает из-за дробно-разностного белого шума (Beran, 1994).Это модель ARFIMA (Hosking, 1981), где AR обозначает авторегрессивный процесс, MA обозначает процесс скользящего среднего, а FI обозначает частично интегрированный процесс белого шума. В схеме Wagenmakers et al. (2004) модель ARMA (1,1) тестируется против модели ARFIMA (1, \ (d \, \) 1), где \ (d \) — показатель степени оператора дробного разложения. Тест проводится с помощью процедуры, основанной на информационном критерии Акаике (AIC) (Akaike, 1974; Burnham, Anderson, 2002).k, \]

          где \ (B \) — оператор обратного сдвига, определенный в последовательности \ (X_t \) как \ (BX_t = X_ {t-1} \, \), а \ (d \) — параметр дробной разности. Модель ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) строится, сначала применяя оператор дробного разложения к шуму, \ (\ epsilon_t \, \), а затем используя полученный шум для построения процесса ARMA. Если \ (d \) может принимать только целые значения, у нас есть модель ARIMA, которая не отображает шум \ (1 / f \) для малых значений \ (p \) и \ (q \.{2d}}, \]

          и если \ (0 \ le d \ le 1/2 \, \), то процесс называется стационарным с дальнодействующей зависимостью. Если \ (d = 1/2 \), то спектр мощности в точности равен \ (1 / f \. \). Процедура Wagenmakers et al. (2004) использует алгоритм Doornik and Ooms (2003) для оценки \ (\ hat {d}, \) \ (\ hat {\ theta_1}, \) и \ (\ hat {\ phi_1} \) для временного ряда и на основе этих оценок проверяет ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) модель против модели ARMA (1,1). Считается, что предпочтение модели ARFIMA указывает на наличие дальнодействующей зависимости и шума \ (1 / f \) во временном ряду.\ alpha \) в связанном точечном процессе.

          Есть и другие подходы к описанию данных временных рядов способами, относящимися к шуму \ (1 / f \). К ним относятся анализ масштабированного диапазона (например, Chen, Ding & Kelso, 1997) и показатель Херста (например, Schroeder, 1991), которые оба включают оценку параметров, связанных с показателем степени спектра мощности, \ (\ alpha \. \) Например, для показателя Херста \ (H = (1+ \ alpha) / 2 \. \). Анализ данных временного ряда с нескольких точек зрения дает очевидные преимущества, но канонической процедуры пока не существует.

          Список литературы

          • Акаике Х. (1974) Новый взгляд на идентификацию статистической модели. IEEE Transactions on Automatic Control, 19: 716-723.
          • Baillie R.T. (1996) Процессы с длительной памятью и дробная интеграция в эконометрике. J. Economet., 73: 5-59.
          • Бак П. Тан К. Визенфельд К. (1987) Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1 / f. Phys. Rev. Lett., 59: 381–384.
          • Bedard C. Kroger H. Destexhe A. (2006) Отражает ли частотное масштабирование сигналов мозга 1 / f самоорганизованные критические состояния? Phys.Rev. Lett., 97: 118102.
          • Белл Д.А. (1960) Электрический шум. Лондон: Ван Ностранд.
          • Беран Дж. (1994). Статистика для процессов с длинной памятью. Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
          • Бернамонт Дж. (1937) Колебания потенциала вспомогательного металлического проводника по объему, паркуру по номиналу. Аня. Phys. (Лейпциг), 7: 71-140.
          • Бернхэм К. П. Андерсон Д. Р. (2002). Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход.\ alpha \) type) в координации человека. Phys. Rev. Lett., 79: 4501-4504.
          • Клейтон К. Фрей Б. (1997) Исследования ментального «шума». Нелин. Dynam. Psychol. Life Sci., 1: 173–180.
          • Калояннидес М.А. (1974) Микроцикловые спектральные оценки 1 / f-шума в полупроводниках. J. Appl. Phys., 45: 307—316.
          • Де Лос Риос П. Чжан-И-К. (1999) Универсальный 1 / f-шум из моделей диссипативной самоорганизованной критичности. Phys. Rev. Lett., 82: 472-475.
          • Доорник Я.А. и Оомс М.\ alpha \) шум от обратимых цепей Маркова. Phys. Ред. E, 76:
          • Гилден Д.Л. (1997) Колебания времени, необходимого для принятия элементарных решений. Psychol. Sci., 8: 296-301.
          • Гилден Д.Л. Торнтон Т. Мэллон М.В. (1995) 1 / f-шум в человеческом познании. Наука, 267: 1837-1839.
          • Гонтис В. Каулакис Б. (2004) Мультипликативный точечный процесс как модель торговой деятельности. Physica A, 343: 505-514; конд-мат / 0303089.
          • Гонтис В. Каулакис Б. (2007) Моделирование торговой активности с долгосрочной памятью с помощью стохастических дифференциальных уравнений.Physica A, 382 (1): 114-120; физика / 0608036.
          • Granger C.W.J. (1980) Отношения с длительной памятью и агрегирование динамических моделей. J. Economet., 14: 227-238.
          • Granger C.W.J. Дин З. (1996) Разновидности моделей с длинной памятью. J. Economet., 73: 61—77.
          • Gruneis F. (2001) 1 / f-шум, перемежаемость и кластеризация Пуассоновский процесс. Fluct. Noise Lett., 1: R119 — R130.
          • Gruneis F. Musha T. (1986) Кластеризация пуассоновского процесса и 1 / f-шума. Яп. J. Applied Phys., 25: 1504—1509.
          • Хоуге Ф. Н. (1976) 1 / ф шумы. Physica A&C, 83: 14-23.
          • Hooge F. N., Kleinpenning T. G. M., Vandamme L. K. J. (1981) Экспериментальные исследования 1 / f-шума. Rep. Prog. Phys., 44: 479-532.
          • Hooge F. N. (1994) 1 / f-источники шума. IEEE Trans. Электрон. Девич., 41: 1926-1935.
          • Hosking J.R.M. (1981) Дробное разложение. Биометрика, 68: 165-176.
          • Джонсон Дж. Б. (1925) Эффект Шоттки в низкочастотных цепях. Phys. Ред., 26: 71-85.
          • Каулакис Б. Мешкаускас Т. (1998) Моделирование 1 / f-шума. Phys. Откровение E, 58: 7013-7019.
          • Каулакис Б. Гонтис В. Алабурда М. (2005) Модель точечного процесса 1 / f-шума в сравнении с суммой лоренцевых. Phys. Rev. E, 71: 051105; конд-мат / 0504025.
          • Каулакис Б. Русецкас Дж. Гонтис В. Алабурда М. (2006) Нелинейные стохастические модели 1 / f-шума и степенные распределения. Physica A, 365: 217-221; конд-мат / 0509626.
          • Коган С. М. (1985) 1 / f-шум тока низкой частоты в твердых телах.Успехи физических наук, 145: 285-328; Сов. Phys. Усп. 28: 170.
          • Лаук М. Чоу C.C. Павлик А.Э. Коллинз Дж. Дж. (1998) Человеческий баланс из равновесия: неравновесная статистическая механика в контроле позы. Phys. Rev. Lett., 80: 413-416.
          • Линкенкаер-Хансен, К. Никулин, В.В. Palva, J.M. Ilmoniemi, R.J. (2001). Долгосрочные временные корреляции и масштабное поведение в колебаниях человеческого мозга. J. Neurosci., 21: 1370-1377.
          • Lowen, B. & Teich, M.C. 2005 Точечные процессы, основанные на фрактале.Хобокен, Нью-Джерси: Уайли.
          • Lundström I. McQueen D. (1974) Предложенный механизм шума 1 / f в мембранах нервных клеток. J. Теорет. Биол., 45: 405-409.
          • Мандельброт Б. (1998) Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике. Нью-Йорк: Спрингер.
          • Маслов С. Тан К. Чжан Ю.С. (1999) 1 / f-шум в моделях Бак-Танга-Визенфельда на узких полосах. Phys. Rev. Lett., 83: 2449—2452.
          • McWhorter A. L. (1957) 1 / f-шум и свойства поверхности германия. В физике поверхности полупроводников, под редакцией Р.Х. Кингстон, Пенсильванский университет, Филадельфия, стр. 207-228.
          • Милотти, Э. (2002) Педагогический обзор 1 / f-шума. Препринт Arxiv по физике / 0204033, 2002 — arxiv.org.
          • Муша Т. (1981) 1 / ф колебания в биологических системах. В P.H.E. Мейер, Р.Д. Маунтин и Р.Дж. Сулен младший (ред.), Шестая международная конференция по шуму в физических системах (стр. 143–146). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США и Национальное бюро стандартов.
          • Новиков Е. Новиков А.Шаннахофф-Халса Д. Шварц Б. Райт Дж. (1997) Масштабная активность мозга. Phys. Ред. E, 56: R2387-R2389.
          • Пилграм, Б. Каплан, Д.Т. (1998) Сравнение оценок для шума 1 / f. Physica D, 114: 108-122.
          • Press W. H. 1978 Мерцающие шумы в астрономии и других местах. Комментарии о астрофизике, 7: 103-119.
          • Schottky W. (1918) Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern. Аня. дер Phys., 57: 541-567.
          • Шоттки В. (1926) Эффект мелкого выстрела и эффект мерцания.Phys. Rev., 28: 74-103.
          • Шредер М. (1991) Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая. Нью-Йорк: Фриман.
          • Ван Орден Г.Дж. Холден Дж. Турви М.Т. (2005) Человеческое познание и масштабирование 1 / f. J. Exper. Психол .: Быт., 132: 331-350.
          • Ван Влит К. М. (1991) Обзор результатов и будущих перспектив квантового 1 / f-шума и 1 / f-шума в целом. Твердотельная электроника, 34: 1—21.
          • Веспиньяни А. Заппери С. (1998) Как работает самоорганизованная критичность.\ альфа \) шум в человеческом познании. Психоном. Бык. Rev., 11: 579-615.
          • Вайсман М. Б. (1988) 1 / f-шум и другая медленная неэкспоненциальная кинетика в конденсированных средах. Ред. Мод. Phys., 60: 537—571.
          • Уорд Л.М. (2002) Динамическая когнитивная наука. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
          • Вест Б. Дж. Шлезингер М.Ф. (1990) Шум в природных явлениях, American Scientist, 78: 40-45.
          • Вонг Х. (2003) Исследование низкочастотного шума в электронных устройствах: обзор и обновление. Микроэлектрон.Достоверн., 43: 585-599.
          • Жигальский Г. П. (1997) 1 / f-шум и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках. Успехи физических наук, 167: 623-648; Phys. Усп., 40, 599.

          Внутренние ссылки

          • Ян А. Сандерс (2006) Усреднение. Академия наук, 1 (11): 1760.
          • Валентино Брайтенберг (2007) Мозг. Академия наук, 2 (11): 2918.
          • Ижикевич Евгений Михайлович (2006) Взрыв. Академия наук, 1 (3): 1300.
          • Грегуар Николис и Катрин Рувас-Николис (2007) Сложные системы.Scholarpedia, 2 (11): 1473.
          • Джеймс Мейсс (2007) Динамические системы. Scholarpedia, 2 (2): 1629.
          • Пол Л. Нуньес и Рамеш Сринивасан (2007) Электроэнцефалограмма. Академия наук, 2 (2): 1348.
          • Марк Аронофф (2007) Язык. Академия наук, 2 (5): 3175.
          • Джефф Мохлис, Кресимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. Академия наук, 1 (7): 1358.
          • Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (2006) Стабильность. Академия наук, 1 (10): 1838.

          Внешние ссылки

          • 1 / f noise, Википедия [1]
          • Розовый шум, Википедия [2]
          • Библиография по шуму 1 / f [3]
          • Буквы флуктуации и шума (FNL) [4]
          • Генерация DSP розового (1 / f) шума [5]
          • Ассоциация науки, искусства и технологий колебаний: ASATeF [6]
          • Вариация Аллана [7]
          • Лаборатория надежности и контроля шума [8]
          • Анализатор спектра с вейвлет-преобразованием в реальном времени для исследования шума 1 / f α [9]
          • ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ КВАНТОВОГО 1 / f ШУМА, стр. \ alpha \, \]

            где \ (f \) — частота на интервале, ограниченном как нулем, так и бесконечностью.{\ alpha} \) (с \ (0.5 \ lesssim \ alpha \ lesssim 1.5 \)) поведение спектров мощности на низких частотах \ (f \) наблюдали в физике, технологии, биологии, астрофизике, геофизике, экономике, психологии. , язык и даже музыка (см. обзоры Press 1978, Hooge et al. 1981, Dutta and Horn 1981, Kogan 1985, Weissman 1988, West and Shlesinger 1990, Van Vliet 1991, Жигальский 1997, Milotti 2002 и Wong 2003).

            Введение

            Шум

            \ (1 / f \) является промежуточным звеном между хорошо изученным белым шумом без корреляции во времени и шумом случайного блуждания (броуновское движение) без корреляции между приращениями.Броуновское движение является интегралом белого шума, и интегрирование сигнала увеличивает показатель \ (\ alpha \) на 2, тогда как обратная операция дифференцирования уменьшает его на 2. Следовательно, \ (1 / f \) шум не может быть получен простой процедурой интегрирования или дифференцирования таких удобных сигналов. Более того, не существует простых, даже линейных стохастических дифференциальных уравнений, генерирующих сигналы с шумом \ (1 / f \). Широкое распространение сигналов, демонстрирующих такое поведение, предполагает, что может существовать общее математическое объяснение.Однако, за исключением некоторых формальных математических описаний, таких как дробное броуновское движение , (половинный интеграл сигнала белого шума), общепризнанного физического объяснения шума \ (1 / f \) предложено не было. Следовательно, повсеместное распространение шума \ (1 / f \) — одна из самых старых загадок современной физики и науки в целом.

            Случай \ (\ alpha = 1 \, \) или розовый шум является каноническим случаем, и наиболее интересная, но более общая форма, где \ (0 <\ alpha \ leq 3 \, \) иногда обозначается просто как \ (1 / f \.\ alpha \) шум представляет интерес, потому что он встречается во многих различных системах, как в мире природы, так и в искусственных процессах.

            Выражение «дальнодействующая зависимость», иногда используемое для обозначения шума \ (1 / f \), также использовалось в различных контекстах с несколько другими значениями. Так же иногда используются «долгая память» и другие варианты. Например, Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) использовали выражения «дальнодействующая зависимость» и \ (1 / f \) шум как синонимы.С другой стороны, в работе Грейнджера и Динга (1988) некоторые модели длинной памяти изучаются в окрестности \ (f = 0 \. \). Но наборы данных конечны, и сколь угодно малые \ (f \) не могут быть реализованным. По этой причине мы ограничиваем наше обсуждение поведением вне окрестности \ (f = 0 \. \)

            Часто открытие шума \ (1 / f \) в системе подразумевает существование какой-то другой специальной структуры, такой как самоорганизованная критичность или мультипликативный шум. Этот вывод необоснован, поскольку наше обсуждение различных моделей и их контекстов станет ясным.{\ alpha} \) спектр мощности — прямая линия, наклон которой \ (- \ alpha \, \) легко оценить. Ясно, что для таких природных систем, наблюдаемых людьми, нельзя зарегистрировать ни сколь угодно малые, ни сколь угодно большие частоты. Ниже мы описываем выборку моделей, которые имеют отношение к таким физически вероятным ситуациям.

            Рисунок 1: Слева: цветовая кодировка временных рядов различных шумов. Справа: соответствующие спектры мощности шумов.

            Ранняя история

            Шум

            \ (1 / f \) был обнаружен Джонсоном (1925) в данных эксперимента, предназначенного для проверки теории дробового шума Шоттки (1918) в электронных лампах (рис. 2А).2 \) для больших \ (f \, \) с узкой переходной областью, где спектр мощности напоминает спектр фликкер-шума, обнаруженный Джонсоном. Форма выражения Шоттки для спектра мощности называется «лоренцевой». Подробнее о лоренцевой форме будет сказано в разделе «Математика шума \ (1 / f \)». Бернамонт (1937) указал, что необходима суперпозиция таких процессов с различными скоростями релаксации, \ (\ lambda \. 2} & \ textrm {if} \ 0 \ ll \ lambda_1 \ ll \ lambda_2 \ ll f \ end {array} \ right.\. \]

            Другими словами, \ (S (f) \) пропорционален \ (1 / f \) для \ (\ lambda_1 \ ll f \ ll \ lambda_2 \. \). Несколько позже McWhorter (1957) разработал более сложный модель, в которой шум объяснялся захватом и удалением поверхностных состояний.

            В отход от предыдущих теорий, которые подчеркивали физические свойства, Белл (1960) предположил, что такой шум является кооперативным явлением, возникающим из статистики очереди электронов, протекающих по проводу.Согласно теории Белла, электроны, текущие по проводу, случайным образом колеблются между связанным и возбужденным состояниями, выстраиваясь в очередь для доступа к узлам на атомах провода. Распределение вероятностей времени ожидания в очереди для зоны проводимости возбужденных свободных электронов, текущих по проводу, представляет собой суперпозицию экспоненциальных распределений с примерно равным весом их широко меняющихся постоянных времени, что приводит к уравнению, приведенному выше для спектральной плотности мощности. Белл (1960) также показал, что различные отклонения спектров мощности от \ (1 / f \, \), в частности, зависимость наклона спектра мощности от конкретного проводника или полупроводника, могут быть объяснены вариациями того, как суммирование возникает или в пределах, в которых это происходит.

            Рисунок 2: Примеры шумов \ (1 / f \). Кривые являются иллюстративными на основе данных из указанных источников. Смежные пары отметок на горизонтальной оси под каждым числом указывают одну декаду частоты.

            Примеры 1 / f-шума

            1 / f шум в твердых телах, конденсированных средах и электронных устройствах

            Низкочастотный шум или фликкер-шум был обнаружен во многих системах и стал горячей темой исследований более восьми десятилетий. Большинство исследований шума \ (1 / f \) проводилось на резисторах, операционных усилителях или другом электронном оборудовании и системах (http: // www. 2} = \ frac {\ alpha _H} {N_Cf}, \]

            где \ (\ alpha _H \) — безразмерная постоянная (параметр Хуге), а \ (N_C \) — количество носителей заряда в проводнике.Хотя эта формулировка оказала влияние и действительно дает полезное приближение к спектру мощности электрического шума во многих материалах, Вайсман (1988) рассмотрел доказательства и аргументы, что она и связанные с ней формулировки не могут привести к правильной общей теории \ (1 / е \) шум. Это связано с тем, что в подходе Хоуге флуктуации связаны с независимыми подвижными носителями заряда, которые не сохраняются в образце материала достаточно долго, чтобы генерировать низкочастотный конец спектра мощности \ (1 / f \).{-6.3} \) Гц (рисунок 2B). Для этого требовалось регистрировать напряжение в течение 3 месяцев, а не 2,5 года, которое можно было бы снизить с помощью различных хитроумных устройств. Он также значительно усовершенствовал процесс вычисления спектра мощности для таких шумов и предложил модель шума \ (1 / f \), аналогичную модели Маквортера (1957).

            Самоорганизованная критичность

            «Самоорганизованная критичность» относится к явлению, при котором диссипативная динамическая система со многими степенями свободы работает вблизи конфигурации с минимальной стабильностью, критической конфигурации, и делает это без какой-либо точной настройки под воздействием внешнего управляющего воздействия.{1+ \ gamma} \ приблизительно s \]

            где \ (\ gamma \) — скорость, с которой событие распространяется по системе. Было обнаружено, что эта конкретная модель и многие ее последователи имеют некоторые тонкие несоответствия, включая путаницу между параметрами порядка и управления, и был разработан более общий подход среднего поля, который исправил большинство этих несоответствий (Vespignani & Zapperi , 1998). Важно отметить, что настоящие, почти одномерные «кучи» рисовых зерен действительно демонстрируют шум \ (1 / f \) (Maslov, Tang & Zhang, 1999).Более того, непрерывная диссипативная версия модели Бака, Танга и Визенфельда (1987) с направленным распространением возмущений четко демонстрирует шум \ (1 / f \) как в 1-, так и в 2-мерной форме (De Los Rios & Zhang, 1999). {\ delta x } \) — характерное время, за которое энергия распространяется к узлу \ (x \) от начала решетки.Таким образом, в этой модели шум \ (1 / f \), характеризующий всю решетку, возникает в результате линейной суперпозиции (некоррелированных) спектров мощности независимых элементов, которые, в свою очередь, состоят из экспонент с диапазоном значений параметров, которые зависят от их расположение в решетке, как и в более ранних моделях, описанных выше.

            Сердце бьется и покачивается

            Один из мостов между неживыми и живыми системами — это наличие розового шума в обеих. Несколько примеров розового шума в живых системах представлены Musha (1981).Временной ряд, состоящий из интервалов между последовательными пиками R (отражающими мышечные сокращения) электрокардиограммы человеческого сердца, имеет спектр мощности приблизительно \ (1 / f \); Наклон логарифмического графика на Рисунке 2C составляет около 1,075 для нескольких десятилетий частоты. Муша (1981) также сообщил об исследовании покачивания человека, стоящего на платформе. Спектральная плотность мощности была приблизительно \ (1 / f \) для частот ниже 1 Гц, а \ (\ alpha \) была немного больше 1 для более высоких частот.Муша правильно считал, что спектр мощности \ (1 / f \) связан с механизмом контроля позы (Lauk, et al. 1998).

            1 / f шум в головном мозге

            Среди живых систем, производящих шум \ (1 / f \), есть мозг. В некоторых исследованиях «шум канала» в нейронах, который, как считается, возникает из-за случайного открытия и закрытия ионных каналов в клеточной мембране, рассматривается как \ (1 / f \. \). Одним из возможных механизмов этого является: модель колебания углеводородных цепей в липидах клеточной мембраны, которая влияет на проводимость ионов калия (Lundström and McQueen 1974).Муша (1981) показал, что ряд флуктуаций плотности времени (обратной скорости передачи) потенциалов действия, движущихся вниз по аксону гигантского кальмара, имеет спектр мощности примерно \ (1 / f \) ниже примерно 10 Гц (рис. 2D). . Новиков и др. (1997) обнаружили, что активность ансамблей нейронов в головном мозге, записанная у расслабленных людей с помощью магнитоэнцефалограммы, показывает спектр мощности \ (1 / f \) (рис. 2E). Спектр логарифма на рисунке 2E имеет наклон -1,03 в диапазоне 0.От 4 до 40 Гц. Записи электроэнцефалограммы также показывают шум \ (1 / f \) в головном мозге. Уорд (2002) описал неопубликованное исследование Макдональда и Уорда (1998), в котором серия больших связанных с событием потенциалов была вызвана 50-миллисекундной тональной вспышкой 1000 Гц с частотой 80 дБ от человека, сидящего в очень тихой ( 35 дБ фоновый шум) шумопоглощающее помещение. Спектр мощности серии, полученной путем выборки записи ЭЭГ в момент времени в период до стимула, и спектр мощности, полученный путем выборки записи ЭЭГ на пике самого раннего компонента потенциала, связанного с негативным событием, были приблизительно \ (1 / f \) (Рисунок 2F).

            Аналогично, Linkenkaer-Hansen at el. (2001) показали, что как МЭГ, так и записи ЭЭГ спонтанной нервной активности у людей отображают \ (1 / f \) — подобные спектры мощности в \ (\ alpha \, \) \ (\ mu \, \) и \ (\ бета \) частотных диапазонов, хотя показатели степени, как правило, были несколько меньше 1 и различались в частотных диапазонах. Они предположили, что наблюдаемое ими степенное масштабирование возникло из-за самоорганизованной критичности, возникающей в нейронных сетях мозга. Однако возможно, что этот вывод необязательно обоснован.Одно недавнее исследование (Bedard et al., 2006) показало, что \ (1 / f \) масштабирование потенциалов локального поля мозга, по-видимому, не связано с критическими состояниями в одновременно регистрируемых нейронах активности, а скорее возникает из-за фильтрации нейронного сигнала через корковая ткань.

            Фондовые рынки и ВНП

            Шум

            \ (1 / f \) в экономических данных обычно изучается как дальнодействующая зависимость или длинная память. Неоднократно было показано, что автокорреляционные функции экономических временных рядов, таких как ряды курсов акций за дни, недели или месяцы или ВНП различных стран за годы, не убывают экспоненциально, как если бы процесс, генерирующий ряды, был простой процесс авторегрессии (AR) (см. Baillie, 1996, для обзора длинной памяти в экономических данных).Вместо этого автокорреляционные функции многих экономических временных рядов достигают ненулевой асимптоты и остаются там на протяжении всего ряда, хотя часто и с низким значением, что указывает на то, что экономические события на некотором расстоянии в прошлом продолжают оказывать влияние на текущие цены или производство. . Такие процессы с длительной памятью обычно моделируются в экономике как процессы дробно-интегрированного белого шума в сочетании с процессами AR (параметр \ (p \)) и скользящего среднего (MA, параметр \ (q \)) для формирования ARFIMA (\ (p, d , q \)) модели, представленные Хоскингом (1981) как модели ARIMA (\ (p, d, q \)) (с интегрирующим параметром \ (d \) разрешено использовать действительное число вместо целого, как это есть в подходе Бокса-Дженкинса), а затем обсуждается в разделе «Определение шума \ (1 / f \).«Но это не единственный возможный подход. Например, Грейнджер (1980) был первым, кто показал, что длинная память может быть результатом агрегации бесконечного числа процессов AR со случайными параметрами, а Грейнджер и Динг (1996) показали, что это может произойти для более реалистичных агрегатов конечного числа процессов AR. В разделе «Математика \ (1 / f \) шума» ниже есть дополнительная информация об агрегировании процессов AR.

            Модель мультипликативного точечного процесса (см. Раздел «Математика шума 1 / f») торговой активности, включая обобщения и расширения модели, объясняющие изменчивость долгосрочной памяти, была предложена Гонтисом и Каулакисом (2004, 2007) .

            Музыка, восприятие времени, память и время реакции

            Восс и Кларк (1975) показали, что спектр мощности для флуктуаций интенсивности в записи Бранденбургского концерта № 1 Баха (рис. 2G) и во многих других случаях записанной музыки и человеческих голосов, слышимых по радио, был приблизительно равен \ ( 1 / f \) примерно за 3 декады частоты. Муша (1981) также резюмировал несколько своих собственных исследований, которые установили, что шум \ (1 / f \) в области пространственной частоты характерен для некоторых мультфильмов и картин, и что чрескожное уменьшение боли более эффективно, когда применяется в соответствии с \ (1 / е \) последовательность.Гилден, Торнтон и Маллон (1995) сообщили о спектрах мощности примерно \ (1 / f \) для временных рядов, состоящих из ошибок, сделанных людьми при оценке различных временных интервалов (рис. 2H). Подобные спектры мощности также были обнаружены для времени реакции человека при выполнении задания на запоминание (Clayton & Frey, 1995), во многих других традиционных задачах, используемых в экспериментальной психологии (Gilden, 1997), в координации касания пальцем с метрономом (Chen, Ding & Kelso, 1997), и даже в простых реакциях обнаружения (Van Orden, Holden and Turvey, 2005).В психологических данных колебания зависимой переменной, которые не могут быть объяснены изменениями независимой (ых) переменной (ей), называются «ошибкой» в смысле остатков линейной регрессии. Обычно считается, что такая ошибка возникает из-за процесса белого шума. Gilden et al. (1995) смоделировали ошибки оценки времени линейной комбинацией шума \ (1 / f \) от внутренних часов и белого шума от моторного процесса, производящего нажатие клавиши. Гилден (1997) распространил эту модель на другие времена реакции и тем самым разделил необъяснимые флуктуации зависимой переменной или ошибку на две составляющие \ [1 / f \] и белый.Он обнаружил, что значительная часть остаточной ошибки составляет \ (1 / f \. \). Уорд и Ричард (описанные в Ward, 2002) смоделировали шумовую составляющую \ (1 / f \) путем объединения трех процессов AR (1). с различными параметрами и показали, что манипуляция нагрузкой принятия решения в задаче классификации, которая изменяет наклон спектра мощности, больше всего влияет на процесс со средним параметром.

            Математика 1 / f-шума

            Хотя \ (1 / f \) шум появляется во многих природных системах, как обобщено выше, и интенсивно изучается в течение десятилетий с многочисленными попытками описать это явление математически, исследователи до сих пор не смогли прийти к единому объяснению.{2 (1- \ beta)}}. \]

            Когда \ (\ beta = 1/2 \, \), мы получаем \ (S (f) \ приблизительно1 / f \) (Lowen & Teich 2005).

            Точечный процесс Пуассона с кластеризацией

            Другой пример, основанный на точечном процессе Пуассона, — это кластеризация Пуассона. К каждой точке Пуассона \ (t_k \, \) присоединяется дополнительный набор точек, называемый кластером, который располагается после нее; кластеры могут перекрывать друг друга. Число точек в каждом кластере \ (m \, \) — это случайная величина, распределение которой \ (p_m \, \) сосредоточено на конечном наборе целых чисел.2 \) получаем \ (S (f) \ propto1 / f \) (Gruneis & Musha 1986). Несколько другая формулировка — это процесс стробирования, при котором кластеры не перекрываются. Здесь точечный процесс Пуассона умножается на процесс стробирования, который равен 1 на случайном интервале, затем 0 на случайном интервале и так далее. Чтобы получить шум \ (1 / f \), пусть интервалы 1 будут распределены экспоненциально, а интервалы 0 распределены геометрически, или наоборот. Затем примерно такие же вычисления, как только что обобщенные, дают приближение \ (1 / f \) (Gruneis 2001).Обратите внимание, что для процессов дробового шума, процессов кластера и стробирования, а также агрегации AR (1) вычисление спектральной плотности мощности дает сумму лоренцевых или лоренцевых функций.

            Повторяющиеся модели

            Недавно были предложены и обобщены модели точечных стохастических процессов шума \ (1 / f \) (Каулакис и Мешкаускас, 1998) (Каулакис и др., 2005). В этих моделях сигнал состоит из импульсов или событий.

            \ [x (t) = a \ sum_k \ delta (t-t_k). \]

            Здесь \ (\ delta (t) \) — дельта-функция Дирака, \ (\ {t_k \} \) — это набор моментов времени, когда частицы или импульсы пересекают сечение наблюдения, а \ (a \) — вклад в сигнал одного импульса или частицы.{\ mu} \ varepsilon _ {k}, \]

            , где \ (\ epsilon_k \) — i.i.d. Гауссов шум, \ (\ gamma \) очень мал, и \ (\ sigma \, \) стандартное отклонение шума также мало, в то время как \ (\ mu \) представляет степень мультипликативности процесса. 2 \) на длинном интервале, когда \ (\ gamma \) мало, и, следовательно, этот спектр мощности не такой, как у точечного процесса (чьи точки \ (t_k \) генерируют временной ряд) на этом интервале.2 & \ textrm {if} \ 1- \ theta_ {min} \ ll f \ ll 1 \ end {array} \ right. \. \]

            (Эрланд и Гринвуд 2007). Также обратите внимание, что \ (S_m (f) \) является лоренцевой функцией.

            Если коэффициенты \ (\ theta_m \) в процессах AR (1) равномерно распределены \ ((\ alpha = 1) \, \), можно получить хорошее приближение шума \ (1 / f \) просто путем усреднения индивидуальная серия. Это соответствует классическому результату о том, что спектр мощности однородной смеси экспоненциально убывающих автокорреляционных функций имеет форму \ (1 / f \) (Bell, 1960).\ alpha \, \) собирать или моделировать данные, относящиеся к модели, а затем оценивать параметр \ (\ alpha \) с помощью линейной регрессии или другого подобного метода (Pilgram & Kaplan, 1998) на основе логарифмически преобразованного спектра мощности данных. . Чаще всего физики (такие как Bell, 1960), биологи, инженеры, психологи и т. Д. Замечают, нанося спектр мощности на логарифмический график, что шум, производимый в конкретной экспериментальной ситуации, равен \ (1 / f \) — вроде. Затем они приступили, часто в отсутствие конкретной модели, к оценке \ (\ alpha \) с использованием линейной аппроксимации.Они также часто проверяют эту оценку против нулевой гипотезы \ (\ alpha = 0 \) или \ (\ alpha = 1 \. \)

            Если кто-то имеет в виду конкретную модель, например, одну из описанных в предыдущем разделе, лучшей процедурой будет оценка параметров этой модели на основе собственных данных и определение того, подразумевают ли эти оценки \ (1 / f \) шум в контексте этой модели. Это может быть трудно выполнить из-за отсутствия соответствующей схемы оценки. Вагенмакерс, Фаррелл и Ратклифф (2004) предложили в контексте оценки наличия долгосрочной зависимости и / или шума \ (1 / f \) в психологических данных, что в отсутствие модели можно использовать схему, основанную на по оценке параметров модели, в которой свойство \ (1 / f \) возникает из-за дробно-разностного белого шума (Beran, 1994).Это модель ARFIMA (Hosking, 1981), где AR обозначает авторегрессивный процесс, MA обозначает процесс скользящего среднего, а FI обозначает частично интегрированный процесс белого шума. В схеме Wagenmakers et al. (2004) модель ARMA (1,1) тестируется против модели ARFIMA (1, \ (d \, \) 1), где \ (d \) — показатель степени оператора дробного разложения. Тест проводится с помощью процедуры, основанной на информационном критерии Акаике (AIC) (Akaike, 1974; Burnham, Anderson, 2002).k, \]

            где \ (B \) — оператор обратного сдвига, определенный в последовательности \ (X_t \) как \ (BX_t = X_ {t-1} \, \), а \ (d \) — параметр дробной разности. Модель ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) строится, сначала применяя оператор дробного разложения к шуму, \ (\ epsilon_t \, \), а затем используя полученный шум для построения процесса ARMA. Если \ (d \) может принимать только целые значения, у нас есть модель ARIMA, которая не отображает шум \ (1 / f \) для малых значений \ (p \) и \ (q \.{2d}}, \]

            и если \ (0 \ le d \ le 1/2 \, \), то процесс называется стационарным с дальнодействующей зависимостью. Если \ (d = 1/2 \), то спектр мощности в точности равен \ (1 / f \. \). Процедура Wagenmakers et al. (2004) использует алгоритм Doornik and Ooms (2003) для оценки \ (\ hat {d}, \) \ (\ hat {\ theta_1}, \) и \ (\ hat {\ phi_1} \) для временного ряда и на основе этих оценок проверяет ARFIMA (1, \ (d \, \) 1) модель против модели ARMA (1,1). Считается, что предпочтение модели ARFIMA указывает на наличие дальнодействующей зависимости и шума \ (1 / f \) во временном ряду.\ alpha \) в связанном точечном процессе.

            Есть и другие подходы к описанию данных временных рядов способами, относящимися к шуму \ (1 / f \). К ним относятся анализ масштабированного диапазона (например, Chen, Ding & Kelso, 1997) и показатель Херста (например, Schroeder, 1991), которые оба включают оценку параметров, связанных с показателем степени спектра мощности, \ (\ alpha \. \) Например, для показателя Херста \ (H = (1+ \ alpha) / 2 \. \). Анализ данных временного ряда с нескольких точек зрения дает очевидные преимущества, но канонической процедуры пока не существует.

            Список литературы

            • Акаике Х. (1974) Новый взгляд на идентификацию статистической модели. IEEE Transactions on Automatic Control, 19: 716-723.
            • Baillie R.T. (1996) Процессы с длительной памятью и дробная интеграция в эконометрике. J. Economet., 73: 5-59.
            • Бак П. Тан К. Визенфельд К. (1987) Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1 / f. Phys. Rev. Lett., 59: 381–384.
            • Bedard C. Kroger H. Destexhe A. (2006) Отражает ли частотное масштабирование сигналов мозга 1 / f самоорганизованные критические состояния? Phys.Rev. Lett., 97: 118102.
            • Белл Д.А. (1960) Электрический шум. Лондон: Ван Ностранд.
            • Беран Дж. (1994). Статистика для процессов с длинной памятью. Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
            • Бернамонт Дж. (1937) Колебания потенциала вспомогательного металлического проводника по объему, паркуру по номиналу. Аня. Phys. (Лейпциг), 7: 71-140.
            • Бернхэм К. П. Андерсон Д. Р. (2002). Выбор модели и многомодельный вывод: практический теоретико-информационный подход.\ alpha \) type) в координации человека. Phys. Rev. Lett., 79: 4501-4504.
            • Клейтон К. Фрей Б. (1997) Исследования ментального «шума». Нелин. Dynam. Psychol. Life Sci., 1: 173–180.
            • Калояннидес М.А. (1974) Микроцикловые спектральные оценки 1 / f-шума в полупроводниках. J. Appl. Phys., 45: 307—316.
            • Де Лос Риос П. Чжан-И-К. (1999) Универсальный 1 / f-шум из моделей диссипативной самоорганизованной критичности. Phys. Rev. Lett., 82: 472-475.
            • Доорник Я.А. и Оомс М.\ alpha \) шум от обратимых цепей Маркова. Phys. Ред. E, 76:
            • Гилден Д.Л. (1997) Колебания времени, необходимого для принятия элементарных решений. Psychol. Sci., 8: 296-301.
            • Гилден Д.Л. Торнтон Т. Мэллон М.В. (1995) 1 / f-шум в человеческом познании. Наука, 267: 1837-1839.
            • Гонтис В. Каулакис Б. (2004) Мультипликативный точечный процесс как модель торговой деятельности. Physica A, 343: 505-514; конд-мат / 0303089.
            • Гонтис В. Каулакис Б. (2007) Моделирование торговой активности с долгосрочной памятью с помощью стохастических дифференциальных уравнений.Physica A, 382 (1): 114-120; физика / 0608036.
            • Granger C.W.J. (1980) Отношения с длительной памятью и агрегирование динамических моделей. J. Economet., 14: 227-238.
            • Granger C.W.J. Дин З. (1996) Разновидности моделей с длинной памятью. J. Economet., 73: 61—77.
            • Gruneis F. (2001) 1 / f-шум, перемежаемость и кластеризация Пуассоновский процесс. Fluct. Noise Lett., 1: R119 — R130.
            • Gruneis F. Musha T. (1986) Кластеризация пуассоновского процесса и 1 / f-шума. Яп. J. Applied Phys., 25: 1504—1509.
            • Хоуге Ф. Н. (1976) 1 / ф шумы. Physica A&C, 83: 14-23.
            • Hooge F. N., Kleinpenning T. G. M., Vandamme L. K. J. (1981) Экспериментальные исследования 1 / f-шума. Rep. Prog. Phys., 44: 479-532.
            • Hooge F. N. (1994) 1 / f-источники шума. IEEE Trans. Электрон. Девич., 41: 1926-1935.
            • Hosking J.R.M. (1981) Дробное разложение. Биометрика, 68: 165-176.
            • Джонсон Дж. Б. (1925) Эффект Шоттки в низкочастотных цепях. Phys. Ред., 26: 71-85.
            • Каулакис Б. Мешкаускас Т. (1998) Моделирование 1 / f-шума. Phys. Откровение E, 58: 7013-7019.
            • Каулакис Б. Гонтис В. Алабурда М. (2005) Модель точечного процесса 1 / f-шума в сравнении с суммой лоренцевых. Phys. Rev. E, 71: 051105; конд-мат / 0504025.
            • Каулакис Б. Русецкас Дж. Гонтис В. Алабурда М. (2006) Нелинейные стохастические модели 1 / f-шума и степенные распределения. Physica A, 365: 217-221; конд-мат / 0509626.
            • Коган С. М. (1985) 1 / f-шум тока низкой частоты в твердых телах.Успехи физических наук, 145: 285-328; Сов. Phys. Усп. 28: 170.
            • Лаук М. Чоу C.C. Павлик А.Э. Коллинз Дж. Дж. (1998) Человеческий баланс из равновесия: неравновесная статистическая механика в контроле позы. Phys. Rev. Lett., 80: 413-416.
            • Линкенкаер-Хансен, К. Никулин, В.В. Palva, J.M. Ilmoniemi, R.J. (2001). Долгосрочные временные корреляции и масштабное поведение в колебаниях человеческого мозга. J. Neurosci., 21: 1370-1377.
            • Lowen, B. & Teich, M.C. 2005 Точечные процессы, основанные на фрактале.Хобокен, Нью-Джерси: Уайли.
            • Lundström I. McQueen D. (1974) Предложенный механизм шума 1 / f в мембранах нервных клеток. J. Теорет. Биол., 45: 405-409.
            • Мандельброт Б. (1998) Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике. Нью-Йорк: Спрингер.
            • Маслов С. Тан К. Чжан Ю.С. (1999) 1 / f-шум в моделях Бак-Танга-Визенфельда на узких полосах. Phys. Rev. Lett., 83: 2449—2452.
            • McWhorter A. L. (1957) 1 / f-шум и свойства поверхности германия. В физике поверхности полупроводников, под редакцией Р.Х. Кингстон, Пенсильванский университет, Филадельфия, стр. 207-228.
            • Милотти, Э. (2002) Педагогический обзор 1 / f-шума. Препринт Arxiv по физике / 0204033, 2002 — arxiv.org.
            • Муша Т. (1981) 1 / ф колебания в биологических системах. В P.H.E. Мейер, Р.Д. Маунтин и Р.Дж. Сулен младший (ред.), Шестая международная конференция по шуму в физических системах (стр. 143–146). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США и Национальное бюро стандартов.
            • Новиков Е. Новиков А.Шаннахофф-Халса Д. Шварц Б. Райт Дж. (1997) Масштабная активность мозга. Phys. Ред. E, 56: R2387-R2389.
            • Пилграм, Б. Каплан, Д.Т. (1998) Сравнение оценок для шума 1 / f. Physica D, 114: 108-122.
            • Press W. H. 1978 Мерцающие шумы в астрономии и других местах. Комментарии о астрофизике, 7: 103-119.
            • Schottky W. (1918) Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern. Аня. дер Phys., 57: 541-567.
            • Шоттки В. (1926) Эффект мелкого выстрела и эффект мерцания.Phys. Rev., 28: 74-103.
            • Шредер М. (1991) Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая. Нью-Йорк: Фриман.
            • Ван Орден Г.Дж. Холден Дж. Турви М.Т. (2005) Человеческое познание и масштабирование 1 / f. J. Exper. Психол .: Быт., 132: 331-350.
            • Ван Влит К. М. (1991) Обзор результатов и будущих перспектив квантового 1 / f-шума и 1 / f-шума в целом. Твердотельная электроника, 34: 1—21.
            • Веспиньяни А. Заппери С. (1998) Как работает самоорганизованная критичность.\ альфа \) шум в человеческом познании. Психоном. Бык. Rev., 11: 579-615.
            • Вайсман М. Б. (1988) 1 / f-шум и другая медленная неэкспоненциальная кинетика в конденсированных средах. Ред. Мод. Phys., 60: 537—571.
            • Уорд Л.М. (2002) Динамическая когнитивная наука. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
            • Вест Б. Дж. Шлезингер М.Ф. (1990) Шум в природных явлениях, American Scientist, 78: 40-45.
            • Вонг Х. (2003) Исследование низкочастотного шума в электронных устройствах: обзор и обновление. Микроэлектрон.Достоверн., 43: 585-599.
            • Жигальский Г. П. (1997) 1 / f-шум и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках. Успехи физических наук, 167: 623-648; Phys. Усп., 40, 599.

            Внутренние ссылки

            • Ян А. Сандерс (2006) Усреднение. Академия наук, 1 (11): 1760.
            • Валентино Брайтенберг (2007) Мозг. Академия наук, 2 (11): 2918.
            • Ижикевич Евгений Михайлович (2006) Взрыв. Академия наук, 1 (3): 1300.
            • Грегуар Николис и Катрин Рувас-Николис (2007) Сложные системы.Scholarpedia, 2 (11): 1473.
            • Джеймс Мейсс (2007) Динамические системы. Scholarpedia, 2 (2): 1629.
            • Пол Л. Нуньес и Рамеш Сринивасан (2007) Электроэнцефалограмма. Академия наук, 2 (2): 1348.
            • Марк Аронофф (2007) Язык. Академия наук, 2 (5): 3175.
            • Джефф Мохлис, Кресимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. Академия наук, 1 (7): 1358.
            • Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (2006) Стабильность. Академия наук, 1 (10): 1838.

            Внешние ссылки

            • 1 / f noise, Википедия [1]
            • Розовый шум, Википедия [2]
            • Библиография по шуму 1 / f [3]
            • Буквы флуктуации и шума (FNL) [4]
            • Генерация DSP розового (1 / f) шума [5]
            • Ассоциация науки, искусства и технологий колебаний: ASATeF [6]
            • Вариация Аллана [7]
            • Лаборатория надежности и контроля шума [8]
            • Анализатор спектра с вейвлет-преобразованием в реальном времени для исследования шума 1 / f α [9]
            • ОБЩАЯ БИБЛИОГРАФИЯ КВАНТОВОГО 1 / f ШУМА, стр.Х. Гендель [10]
            • Труды Международной конференции по шуму в физических системах и 1 / f флуктуациям [11]

            Рекомендуемая литература

            • Беран Дж. (1994). Статистика для процессов с длинной памятью. Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
            • Hosking J.R.M. (1981) Дробное разложение. Биометрика, 68: 165-176.
            • Мандельброт Б. (1998) Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике. Нью-Йорк: Спрингер.
            • Милотти, Э.(2002) Педагогический обзор 1 / f-шума. Препринт arxiv по физике / 0204033, 2002 — arxiv.org
            • Шредер М. (1991) Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая. Нью-Йорк: Фриман
            • Уорд Л.М. (2002) Динамическая когнитивная наука. Кембридж, Массачусетс: MIT Press

            См. Также

            Хаос, фракталы, шум, куча песка, самоорганизованная критичность

            Понимание и устранение 1 / f шума

            Введение

            В этой статье объясняется, что такое шум 1 / f и как его уменьшить или устранить в приложениях для точных измерений.Шум 1 / f не может быть отфильтрован и может быть ограничением для достижения наилучших характеристик в приложениях для точных измерений.

            Что такое шум 1 / f?

            1 / f шум — это низкочастотный шум, мощность шума которого обратно пропорциональна частоте. 1 / f-шум наблюдается не только в электронике, но также в музыке, биологии и даже экономике. 1 Источники 1 / f-шума все еще широко обсуждаются, и в этой области все еще проводится много исследований. 2

            Глядя на спектральную плотность шумового напряжения операционного усилителя ADA4622-2, показанную на рисунке 1, мы видим, что на графике видны две отдельные области.Слева на Рисунке 1 мы можем видеть область шума 1 / f, а справа на Рисунке 1 мы можем видеть область широкополосного шума. Точка кроссовера между шумом 1 / f и широкополосным шумом называется углом 1 / f.

            Рис. 1. Спектральная плотность шума напряжения ADA4622-2.

            Как измерить и определить уровень шума 1 / f?

            После сравнения графиков плотности шума нескольких операционных усилителей становится очевидным, что угол 1 / f может различаться для каждого продукта. Чтобы легко сравнивать компоненты, нам нужно использовать одну и ту же полосу пропускания при измерении шума каждого компонента.Для низкочастотного шума напряжения стандартная спецификация составляет от 0,1 Гц до 10 Гц размах шума. Для операционных усилителей шум от 0,1 Гц до 10 Гц можно измерить с помощью схемы, показанной на рисунке 2.

            Рисунок 2. Измерение низкочастотного шума.

            Коэффициент усиления операционного усилителя установлен на 100 с заземленным неинвертирующим входом. Операционный усилитель питается от раздельного источника питания, чтобы вход и выход находились на земле.

            Активный блок фильтра ограничивает полосу пропускания измеряемого шума, одновременно обеспечивая усиление 10 000 для шума от операционного усилителя.Это гарантирует, что шум от тестируемого устройства является доминирующим источником шума. Смещение операционного усилителя не имеет значения, поскольку вход фильтра связан по переменному току.

            Выход фильтра подключен к осциллографу, и размах напряжения измеряется в течение 10 секунд, чтобы гарантировать захват всей полосы частот от 0,1 Гц до 10 Гц (1/10 секунды = 0,1 Гц). Затем результаты, показанные на осциллографе, делятся на коэффициент усиления 1000000 для расчета шума от 0,1 Гц до 10 Гц. На рисунке 3 показан 0.Шум от 1 Гц до 10 Гц для ADA4622-2. ADA4622-2 имеет очень низкий уровень шума от 0,1 до 10 Гц, типичный всего 0,75 мкВ размах.

            Рисунок 3. Шум от 0,1 Гц до 10 Гц, В SY = ± 15 В, G = 1 000 000.

            Какое влияние оказывает шум 1 / f на мою электрическую цепь?

            Общий шум в системе — это комбинированный шум 1 / f и широкополосный шум от каждого компонента в системе. Пассивные компоненты имеют шум 1 / f, а текущий шум также имеет компонент шума 1 / f. Однако для низких сопротивлений шум 1 / f и токовый шум обычно слишком малы, чтобы их можно было учитывать.В этой статье речь пойдет только о шумах напряжения.

            Для расчета общего шума системы мы вычисляем шум 1 / f и широкополосный шум, а затем объединяем их. Если мы используем спецификацию шума от 0,1 Гц до 10 Гц для расчета шума 1 / f, то мы предполагаем, что угол 1 / f ниже 10 Гц. Если угол 1 / f выше 10 Гц, то мы можем оценить шум 1 / f по следующей формуле 3 :

            где:

            e n1Hz — плотность шума при 1 Гц,

            f h — угловая частота шума 1 / f,

            f l — 1 / время диафрагмы.

            Например, если мы хотим оценить шум 1 / f для ADA4622-2, тогда f h будет примерно 60 Гц. Мы устанавливаем f l равным 1 / время диафрагмы. Время апертуры — это полное время измерения. Если мы установим время апертуры или время измерения равным 10 секундам, тогда f l будет 0,1 Гц. Плотность шума при 1 Гц, e n1Hz, составляет приблизительно 55 нВ√Гц. Это дает нам результат 139 нВ среднеквадратичное значение между 0.1 Гц и 60 Гц. Чтобы преобразовать это значение в размах, мы должны умножить его на 6,6, что даст нам приблизительно 0,92 мкВ пик-пик. 4 Это примерно на 23% выше, чем в спецификации от 0,1 Гц до 10 Гц.

            Широкополосный шум можно рассчитать по следующей формуле:

            где:

            e n — плотность шума на 1 кГц,

            NEBW — ширина полосы, эквивалентная шуму.

            Ширина полосы, эквивалентная шуму, учитывает дополнительный шум за пределами частоты среза фильтра из-за постепенного спада фильтра.Ширина полосы, эквивалентная шуму, зависит от количества полюсов в фильтре и типа фильтра. Для простого однополюсного фильтра Баттерворта нижних частот NEBW составляет 1,57 × отсечки фильтра.

            Плотность широкополосного шума для ADA4622-2 составляет всего 12 нВ / √Гц при 1 кГц. Используя простой RC-фильтр на выходе с частотой среза 1 кГц, широкополосный среднеквадратичный шум составляет приблизительно 475,5 нВ среднеквадратичного значения и может быть рассчитан следующим образом:

            Обратите внимание, что простой RC-фильтр нижних частот имеет ту же передаточную функцию, что и однополюсный фильтр Баттерворта нижних частот.

            Чтобы получить общий шум, мы должны сложить шум 1 / f и широкополосный шум. Для этого мы можем использовать метод корня из суммы квадратов, поскольку источники шума некоррелированы.

            Используя это уравнение, мы можем вычислить общий среднеквадратичный шум ADA4622-2 с помощью простого RC-фильтра нижних частот с частотой 1 кГц на выходе и получить 495,4 нВ среднеквадратичного значения. Это чуть более чем на 4% выше шума, чем один только широкополосный шум. Из этого примера ясно, что шум 1 / f влияет только на системы, измеряющие от постоянного до очень узкой полосы пропускания.Как только вы выйдете за угол 1 / f примерно на десять или более лет, вклад шума 1 / f в общий шум станет слишком малым, чтобы о нем беспокоиться.

            Поскольку шум складывается как квадратный корень из суммы, мы можем решить игнорировать меньший источник шума, если он ниже примерно 1/5 -го более крупного источника шума, так как отношение шума ниже 1/5 -го Вклад составляет около 1% увеличения общего шума. 5

            Как удалить или уменьшить шум 1 / f?

            Стабилизация прерывателя или прерывание — это метод уменьшения напряжения смещения усилителя.Однако, поскольку шум 1 / f близок к низкочастотному шуму постоянного тока, он также эффективно снижается с помощью этого метода. Стабилизация прерывателя работает путем чередования или прерывания входных сигналов на входном каскаде, а затем снова прерывания сигналов на выходном каскаде. Это эквивалентно модуляции с использованием прямоугольной волны.

            Рисунок 4. Блок-схема архитектуры ADA4522.

            Ссылаясь на структурную схему ADA4522-2, показанную на рисунке 4, входной сигнал модулируется с частотой прерывания на этапе CHOP IN .В каскаде CHOP OUT входной сигнал синхронно демодулируется обратно до его исходной частоты, и одновременно смещение и 1 / f-шум входного каскада усилителя модулируются до частоты прерывания. Помимо уменьшения начального напряжения смещения, уменьшается изменение смещения относительно синфазного напряжения, что приводит к очень хорошей линейности по постоянному току и высокому коэффициенту подавления синфазного сигнала (CMRR). Прерывание также снижает дрейф напряжения смещения в зависимости от температуры. По этой причине усилители, использующие прерывание, часто называют усилителями с нулевым дрейфом.Следует отметить, что усилители с нулевым дрейфом удаляют только шум 1 / f усилителя. Любой шум 1 / f от других источников, таких как датчик, не будет затронут.

            Компромисс при использовании прерывания заключается в том, что он вводит артефакты переключения в выход и увеличивает входной ток смещения. При просмотре на осциллографе на выходе усилителя видны сбои и пульсации, а при просмотре с помощью анализатора спектра видны всплески шума в спектральной плотности шума.Новейшие усилители с нулевым дрейфом от Analog Devices, такие как семейство усилителей с нулевым дрейфом ADA4522 55 В, используют запатентованную схему петли смещения и коррекции пульсаций для минимизации артефактов переключения 6 .

            Рис. 5. Шум выходного напряжения во временной области. 6

            Прерывание может также применяться к инструментальным усилителям и АЦП. Такие продукты, как измерительный усилитель AD8237 true-rail-to-rail, с нулевым дрейфом, новый 24-битный Σ-Δ АЦП AD7124-4 с низким уровнем шума и низким энергопотреблением и недавно выпущенный 32-битный сверхнизкий уровень шума AD7177-2 Σ-Δ АЦП, используйте прерывание для устранения шума 1 / f и минимизации дрейфа по сравнению стемпература.

            Одним из недостатков использования прямоугольной модуляции является то, что прямоугольные волны содержат много гармоник. Шум на каждой гармонике будет демодулирован обратно в постоянный ток. Если вместо этого используется модуляция синусоидальной волны, то этот подход гораздо менее восприимчив к шуму и может восстанавливать очень слабые сигналы в присутствии большого шума или помех. Это подход, используемый синхронными усилителями. 7

            Рисунок 6. Измерение поверхностного загрязнения с помощью синхронизирующего усилителя. 7

            В примере, показанном на рисунке 6, выходной сигнал датчика модулируется с помощью синусоидальной волны для управления источником света.Схема фотодетектора используется для обнаружения сигнала. Как только сигнал проходит стадию преобразования сигнала, он может быть демодулирован. Та же синусоида используется для модуляции и демодуляции сигнала. Демодуляция возвращает выходной сигнал датчика к постоянному току, но также сдвигает шум 1 / f каскада преобразования сигнала на частоту модуляции. Демодуляция может выполняться либо в аналоговой, либо в цифровой области после преобразования АЦП. Очень узкий фильтр нижних частот, например 0,01 Гц, используется для подавления шума, превышающего постоянный ток, и остается только исходный выходной сигнал датчика с чрезвычайно низким уровнем шума.Это зависит от того, что выходной сигнал датчика находится точно на постоянном токе, поэтому важны точность и достоверность синусоидальной волны. Этот подход устраняет 1 / f-шум схемы преобразования сигнала, но не устраняет 1 / f-шум датчика.

            Если датчику требуется сигнал возбуждения, то можно устранить шум 1 / f от датчика, используя возбуждение переменным током. Возбуждение переменного тока работает путем чередования источников возбуждения датчика для получения выходного сигнала прямоугольной формы с датчика и последующего вычитания выходного сигнала из каждой фазы возбуждения.Такой подход не только позволяет устранить 1 / f-шум датчика, но также устраняет дрейф смещения в датчике и устраняет нежелательные паразитные эффекты термопары. 8

            Рисунок 7. Возбуждение мостового датчика переменным током. 8

            Возбуждение переменного тока может осуществляться с помощью дискретных переключателей и управления ими с помощью микроконтроллера. 24-битный Σ-Δ АЦП AD7195 с низким уровнем шума, малым дрейфом и внутренним PGA включает драйверы для возбуждения датчика переменным током. АЦП прозрачно управляет возбуждением переменным током, синхронизируя возбуждение датчика с преобразованием АЦП, что упрощает использование возбуждения переменным током.

            Рис. 8. CN-0155 — Конструкция прецизионных весов с использованием 24-битного Σ-Δ АЦП с внутренним PGA и возбуждением переменным током.

            Реализация

            При использовании усилителей с нулевым дрейфом и АЦП с нулевым дрейфом очень важно знать частоту прерывания каждого компонента и возможность возникновения интермодуляционных искажений (IMD). Когда два сигнала объединяются, результирующая форма сигнала будет содержать два исходных сигнала, а также сумму и разность этих двух сигналов.

            Например, если мы рассмотрим простую схему, использующую усилитель с нулевым дрейфом ADA4522-2 и Σ-Δ АЦП AD7177-2, частоты прерывания каждой части будут смешиваться и создавать суммарные и разностные сигналы.ADA4522-2 имеет частоту переключения 800 кГц, а AD7177-2 имеет частоту переключения 250 кГц. Смешивание этих двух частот переключения вызовет дополнительные артефакты переключения на частотах 550 и 1050 кГц. В этом случае максимальная частота излома цифрового фильтра AD7177-2, 2,6 кГц, намного ниже, чем самый низкий артефакт, и удалит все эти артефакты IMD. Однако, если два идентичных усилителя с нулевым дрейфом используются последовательно, создаваемые интермодуляционные искажения будут представлять собой разницу во внутренней тактовой частоте компонентов.Эта разница может быть небольшой, и, следовательно, интермодуляционные искажения будут намного ближе к постоянному току и с большей вероятностью попадут в интересующую полосу пропускания.

            В любом случае важно учитывать интермодуляционные искажения при проектировании системы, в которой используются детали с нулевым дрейфом или измельченные детали. Следует отметить, что большинство усилителей с нулевым дрейфом имеют гораздо более низкие частоты переключения, чем ADA4522-2. Фактически, высокая частота переключения является ключевым преимуществом использования семейства ADA4522 при разработке прецизионных сигнальных цепей.

            Заключение

            Шум

            1 / f может ограничить производительность в любой прецизионной цепи сигнала постоянного тока. Однако его можно удалить, используя такие методы, как прерывание и возбуждение переменным током. При использовании этих методов есть некоторые компромиссы, но современные усилители и Σ-Δ преобразователи решили эти проблемы, облегчая использование продуктов с нулевым дрейфом в более широком диапазоне конечных приложений.

            Рекомендации

            1. Уильям Х. Пресс. ‟Мерцающие шумы в астрономии и других сферах». Комментарии по астрофизике , 1978.

            2. F.N. Hooge. ‟1 / f Источники шума». IEEE Transactions on Electron Devices Vol. 41, № 11 , 1994.

            3. MT-048. ‟Взаимосвязь шума операционного усилителя: шум 1 / f, среднеквадратичный шум и эквивалентная ширина полосы шума». Analog Devices, Inc., 2009.

            4. Вальтер Юнг. ‟ Руководство по применению операционных усилителей .” Newnes, 2005.

            5. MT-047. ‟Шум операционного усилителя». Analog Devices, Inc., 2009.

            6. Кусуда Вонг. ‟Усилители с нулевым дрейфом: теперь их легко использовать в высокоточных схемах». Аналоговый диалог, Том. 49 , 2015.

            7. Луис Ороско. ‟Синхронные детекторы упрощают высокоточные измерения низкого уровня». Аналоговый диалог, Том. 48 , 2014.

            8. Альберт О’Грэди.‟Возбуждение датчика / датчика и методы измерения». Аналоговый диалог, Том. 34 , 2000.

            Благодарности

            Автор хотел бы поблагодарить Скотта Ханта и Густаво Кастро за их предыдущую работу по источникам шума в усилителях.

            Что такое мерцающий шум | 1 / f Шум

            Фликкер-шум или 1 / f-шум — это форма электронного шума, который преобладает на низких частотах или на низких частотах отстройки от генераторов.

            Электронный и радиочастотный шум Включает:
            Основы шума Измерение шума

            Темы о ВЧ-шумах: Лавинный шум Взрывной шум Мерцающий шум Фазовый шум Дробовой шум Тепловой шум

            Фликкер-шум также известен как шум 1 / f ввиду того факта, что плотность мощности уменьшается с увеличением частоты или увеличением смещения от сигнала. Он соответствует 1 / f характеристике, имеющей так называемый спектр розового шума.

            Фликкер-шум или шум 1 / f возникает почти во всех электронных устройствах и имеет множество различных причин, хотя обычно они связаны с протеканием постоянного тока.

            Это важно во многих областях электроники и особенно важно в генераторах, используемых в качестве источников ВЧ. Для генераторов RF важны общие шумовые характеристики, и шум 1 / f составляет один из их элементов.

            Что такое мерцающий шум: общие сведения

            Мерцание шума присутствует практически во всех электронных компонентах (а также во многих других физических предметах повседневной жизни, от вращения Земли до подводных течений и многих других предметов).

            Часто фликкер-шум, шум 1 / f упоминается в отношении полупроводниковых устройств, таких как транзисторы и особенно MOSFET-транзисторы.

            Это может проявляться как множество эффектов, но часто возникает как колебание сопротивления.

            Фликкер-шум или 1 / f-шум можно выразить в виде:

            Фликкер-шум в генераторах

            Фликкер-шум пропорционален обратной частоте, то есть 1 / f, и во многих приложениях, таких как RF-генераторы, есть области, в которых преобладает фликкер-шум, 1 / f-шум, и другие области, где белый шум от таких источников, как преобладают дробовой шум и тепловой шум.

            Внутри генератора фликкер-шум проявляется в виде боковых полос, которые расположены близко к несущей, а другие формы шума распространяются от несущей с более плоским спектром, хотя и затухают по мере увеличения смещения от несущей.